Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 128

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 122 123 124 125 126 127 < 128 > 129 130 131 132 133 134 .. 227 >> Следующая

Для каждого неотрицательного целого п симплициальный .R-модуль Мп определяется следующим образом: в качестве Мр берется свободный модуль, образующими которого служат все монотонные отображения X: [р]->-[гс], а отображение |л* = = Мп (fx): Мр Мд определяется для каждого монотонного отображения fi: [q] -> [р] равенством (i*A = Я[л. Тем самым задается контравариантный функтор Мп. Заметим, что образующие А, модуля Мр — это все р-мерные грани (Я0, . . ., Хр), вырожденные или нет, обычного л-мерного симплекса и что Мп пополняется отображением е (Я0) = 1; часто Мп обозначают как А". Мы назовем Мп л-мерной моделью симплициального модуля, а тождественное отображение х" = 1 : [л]->- [л]—базисной цепью этой модели, хп в Мп.
Как и в случае пространств (11.7), пополненный цепной комплекс е : K^R называется ацикличным, если Нп (К) = 0 при л > 0 и е: Н0 (К) э* R.
§ 8. Теорема Эйленберга — Зильбера
305
Предложение 7.1. Для каждого неотрицательного п комплекс К (Мп) ацикличен.
Доказательство. Достаточно построить стягивающую гомотопию. Определим гомоморфизм s: Мр -> М™+1 равенством
5 (Я0, . . ., Хр) = (0, Х0, ¦ . Хр). Ввиду (5.11) и (5.12)
doS=l, dis = sdi-l, t > 0, (7.1)
и sst = si+1s. Следовательно, s индуцирует цепную гомотопию в ассоциированном цепном комплексе s: 1 ~ /е, где отображение /: R-+- S определяется равенством / 1д = (0).
Предложение 7.2. Для каждого' симплициального модуля S и каждого а 6 Sn существует единственное симплициальное отображение а : Мп S, для которого ахп = а.
Доказательство. Каждый свободный образующий X модуля Мр может быть единственным образом записан с помощью базисной цепи хп в виде Х*хп = хпХ. Следовательно, равенство а (Х*кп) = Х*а определяет симплициальное отображение а: Мп -у S; очевидно, что это отображение единственное, обладающее свойством ахп — а.
Резюмируем: модели ацикличны и представляют каждый эле* мент а 6 Sn. Подобно этому в доказательстве (II.8) аксиомы гомо-топии для сингулярного комплекса 5 (X) топологического пространства модели S (Дп) и 5 (Anx I) являются ацикличными и представляют каждый сингулярный симплекс Т как Т : Д” X. Эта ситуация повторяется во многих случаях как средство построения цепных преобразований и цепных гомотопий. Она может быть описана в категорных терминах (Эйленберг — Маклейн [1953], Гугенгейм — Мур [1957]); весьма полезно применять ее сразу в каждом случае, как это сделано в доказательствах следующего параграфа.
УПРАЖНЕНИЕ
1. Если V — произвольное множество, частично упорядоченное отношением о ¦< v' для любых v, v' 6 V, то комплекс К (Fz SV) ацикличен.
§ 8. Теорема Эйленберга — Зильбера
Если U и V — симплициальные множества, то их декартовым произведением UxV называется симплициальное множество, у которого (U x V)n = Un X Vh (декартово произведение множеств) и
dt(u, v) — (dtu, div), st (и, v) = (SiU, stv), i — 0, ...,n, (8.1)
20—353
306
Гл. VIII. Умножения
где и 6 Un,v 6 Vn и п> 0 для dt. Это определение подсказано случаем топологических пространств. Если Хх У — декартово произведение двух пространств X и К с проекциями я4 и дт2 на Л и У соответственно, то каждый сингулярный симплекс Т : Ап -*-ХхУ определяется его проекциями щТ и л2Т, в то время как dinjT=njdiT, s^jT = njSiT. Следовательно, отображение Т-*- (щТ, %2Т) устанавливает изоморфизм S (XxY) ^ S (X) х X 5 (У) симплициальных множеств. Вычисление сингулярной гомологии пространства X х У тем самым сводится к вычислению гомологии декартова произведения симплициальных множеств.
Существует параллельное произведение для симплициальных модулей А и В над коммутативным кольцом. Декартово произведение Ах В определяется как симплициальный модуль, у которого (А х В)п = Ап <g> Вп и
di(a®b) — dta® dib, St(a]0b) — Sia<s> stb, i = 0, ..., n, (8.2)
где a 6 Л„, b 6 Bn и n > 0 для dt. Для того чтобы не спутать его с тензорным произведением комплексов, мы будем писать axb-для элемента а 0 Ъ из Ап ® Вп.
Для симплициальных множеств U и У из определения вытекает, что существует естественный изоморфизм симплициальных модулей
F(UxV)szFUxFV, (8.3)
поскольку F (UxV) в размерности п является свободным модулем, порожденным множеством UnxVn, а этот свободный модуль естественно изоморфен тензорному произведению (FUn)®(FVn).
Ассоциированный цепной комплекс К (АхВ) приводится теперь к тензорному произведению цепных комплексов К (Л) и .К (В).
Теорема 8.1. (Эйленберг — Зильбер.) Для симплициальных модулей А и В над коммутативным кольцом существует естественная цепная эквивалентность
К (А х В) X К (А) ®К(В). (8.4)
е
В силу теоремы о нормализации К (А) Kn (Л) — также цепная эквивалентность, так что существует также естественная Цепная эквивалентность
К» (Л х В) ^ /Cn (А) ® KN (В). (8.5)
В доказательстве, как показано в следующих леммах, будет использован метод ацикличных моделей. Отметим, что верно
Предыдущая << 1 .. 122 123 124 125 126 127 < 128 > 129 130 131 132 133 134 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed