Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 126

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 120 121 122 123 124 125 < 126 > 127 128 129 130 131 132 .. 227 >> Следующая

300
Гл. VIII. Умножения
кольца целых чисел S' = FZS есть симплициальная абелева группа, причем S'p — свободная абелева группа, порожденная всеми сингулярными р-мерными симплексами пространства X. Другими словами, Sp — это обычная группа сингулярных р-мерных цепей пространства X. Мы вскоре увидим, что обычная граница для сингулярных р-мерных цепей также определяется сим-плициальной структурой S' (X).
Удобно использовать два специальных семейства монотонных отображений
ei = e* :[?—1]-» fa], Ч* = %: [?+ 1] -» М, (5.1)
определенных для i = 0, . . ., q (и для q> 0 в случае г1) равенствами
е*(/) = { 7 для / < t, / Для /<t,
1 / + 1 для j>i, /—1 для /> i.
Другими словами, ег можно описать как (q — 1)-мерную грань симплекса А« с вершинами (0, 1, . . ., i, . . ., q), причем индекс i опущен, a rj* есть (q + 1)-мерная грань с вершинами (0, 1, . . . . . ., I, i, ..., q) с дважды повторенной вершиной i. Справедливость следующих равенств устанавливается из определений:
е},. е* = е*,, eJ—1,
в+1 « 9+1 9 ’
*¦</, (5.2)
(5.3)
i < j,
i --- /, i = j -f-1, (5.4)
i > j +1.
q у e и tj.
г-l rW Q 1 9 2
Лемма 5.1. Каждая монотонная функция ц:[^]-»-[р] представима единственным образом в виде произведения
|i = е11 ... ... г]5*, (5.5)
где p>h> ¦¦•> ia> 0, 0</t< • • • <jt<q, q—t + s = p.
Доказательство. Пусть элементами из [р], не лежащими в ц[<7], являются числа iu . . ., is, расположенные по убыванию, в то время как ju . . ., jt — элементы из \q], для которых (А (/) = (л (/ + 1), расположенные по возрастанию. Тогда имеет место (5.5) и [л представляется как произведение монотонного эпиморфизма (произведение всех т]) и монотонного мономорфизма (произведение всех г).
§ 5. Симплициальные объекты
301
Эта лемма позволяет нам дать альтернативное определение симплициального объекта.
Теорема 5.2. Симплициальный объект S в категории % — это семейство {S9} объектов из % вместе с двумя семействами морфизмов из
di'. Sq > Sq-1, Si I Sq > Sq+lt t =0, . . ., q (u q>0 в случае di), которые удовлетворяют равенствам
di dj = dj-i dt, i<j, (5.6)
SiSj — Sj+\Si, (5-7)
(Sj-i di,
1, i = /,i = /+1, (5.8)
sjdi-i, i>j+1-
Доказательство. Поскольку функтор S контравариан-тен, морфизмы dt = S (el), st = S (г]1) удовлетворяют равенствам
(5.6) — (5.8), двойственным равенствам (5.2) — (5.4). Обратно, пусть заданы отображения dt и st; запишем каждое монотонное отображение [г однозначным образом в виде (5.5) и положим
^ (М1)= • • • sh dh ... d^ г Sp > Sq.
Равенств (5.6) — (5.8) достаточно для перестановки любых двух отображений di, sj и, значит, для определения разложения произведения fxv по известным разложениям fx и v, а поэтому их достаточно для доказательства равенства S (p.v) = S (v) S (|i). Тем
самым S : Л % превращается в контравариантный функтор.
Мы назовем dt и sj соответственно i-м граничным оператором и /-м оператором вырождения симплициального объекта S. Отметим, что из (5.6) и (5.7) вытекают равенства
di djz= dj di+i, i ^ у, (5.9)
SiSj = SjSi-l, i > (5.10)
Например, пусть V — произвольное частично упорядоченное множество (1.8); назовем q-симплексом в V упорядоченный относительно частичного порядка набор (v0, . . ., vq) из (q + 1) элемента и0< . . . < Од. Пусть Sq (У) — множество всех ^-симплексов из V. Тогда 5 (V) является симплициальным множеством относительно граничных операторов и операторов вырождения, определенных формулами di (и0, ¦ • •, Vq) = (v0, ..., Vi, ..., Vq) (опущен элемент Vi),
(5.11)
Si (v0, . . ., Vq) = (Vo, . . ., Vi, Vi,. . .., Vq) (пОВТОреН ЭЛвМвНТ ?>;).
(5.12)
302
Гл. VIII. Умножения
Геометрически V можно рассматривать как схематическое описание полиэдра с частично упорядоченными вершинами vt.
Если 5 и S' — симплициальные объекты категории <ё, то сим-плициальное отображение a: S -> S' является естественным преобразованием контравариантных функторов S, S' : еМ <ё. Другими словами, симплициальное отображение о — это такое семейство морфизмов aq : Sq Sq ИЗ <в, ЧТО Од S (fi) = S' ((a) gp для каждого монотонного отображения |х: [^] -> [р] или, эквивалентно, odt = diO и asi = s;cr для каждого i. Симплициальные объекты категории 4$ образуют категорию, морфизмами которой служат симплициальные отображения.
Каждый симплициальный модуль S определяет (положительный) цепной комплекс К = К (5), в котором Kq = Sq, а граничный гомоморфизм 3: Kq -*¦ Kq-1 есть альтернированная сумма граничных гомоморфизмов:
Предыдущая << 1 .. 120 121 122 123 124 125 < 126 > 127 128 129 130 131 132 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed