Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Hk (НошЛ (X, Л)) ® Нт (Ношл- (X', А'))Л
ft+m (Нотл (X, А) ® НотЛ' (X', А'))
Здесь р — гомологическое умножение из (1.1), записанное с верхними индексами, а С — цепное преобразование, определенное Нот-®-перестановкой VI (8.10). Это умножение естественно и ассо-
X
(1.2)
Hh+m ((G ® G') ®я (X ® X')),
Я (X) ® Я (X' ® X") ЛЕ* Я (X ® X' ® X"),
Рн: S Я*(С®ЛХ)®Ят(С'®Л'Х')~
ft+m=an
aftf»((G®G')®a(X®X'))-
Я*+т (Нота (X ® X', А ® Л')).
(1.3)
286
Г л. VIII. Умножения
циативно. Его определение можно переписать в терминах коцепей /г:Хд->А, h':X'm-+A'. Рассмотрим huh' как гомоморфизмы градуированных модулей. По определению, ? (h ® h') — это гомоморфизм
Л® Л': (X ® Х% = 2 ХР®Х'-^А®А\
p+q=n
действующий следующим образом: если х 6 Хр, х' ? X'q, п -= k + т, то
hx®h'x', p = k, q = m,
(1.4)
О , рфк. К '
(,h ® h') (х ® х') ¦¦
Тогда 6 (h ® h') = 6h ® h' + (— 1 )kh ® bh’, и рн определяется для когомологических классов следующей формулой: рн (els h ® els h’) — els (h ® h').
Теорема 1.2. Для алгебр А и А' над полем и положительных комплексов X и X', в которых модули X* и Х'т являются свободными А- или А'-модулями с конечным числом образующих, когомологическое умножение является изоморфизмом
рн- 2 нН (Ногпл (X, А)) ® Н п (НошЛ' (Х\ А')) ^
^ Hh+m (UomQ(X ® X', А ® А')).
Доказательство. Поскольку комплексы X и X' положительны, каждый модуль (X ® Х')п является конечной прямой суммой 2*р® X'q, а функтор Нот (X, —) перестановочен с конечными прямыми суммами (=прямыми произведениями) в силу аддитивности. Предположение о конечности числа образующих позволяет применить предложение VI.8.3 и тем самым обеспечивает изоморфность комплексов при Нот-®-перестановке, а р является изоморфизмом по тензорной формуле Кюннета для поля.
Теорема 1.3. Связывающие гомоморфизмы, если они определены, перестановочны с гомологическим умножением р.
Доказательство. Заменим в (1.1) комплекс X короткой точной последовательностью
комплексов правых R-модулей. Связывающие гомоморфизмы для групп гомологий имеют вид
dE = E,-.Hh+l(M)~>Hk (К).
Последовательность тензорных произведений комплексов
?®лГ:0^/С®нГ-»1®йК->М®нГ->0 (1.5)
§ 1. Гомологические умножения
287
в случае ее точности также определяет связывающие гомоморфизмы, указанные в диаграмме
В нашей теореме утверждается, что эта диаграмма коммутативна; доказательство заключается в непосредственном применении описания связывающих гомоморфизмов через «обращение». Соответствующий результат верен и в том случае, когда комплекс Y заменяется короткой точной последовательностью комплексов.
Этот результат применим всякий раз, когда последовательность E®RY точна. Однако] этого может не быть; для того чтобы получить точность, мы должны заменить левый нуль в (1.5) на
2 Torf (Мр, Yq). Последовательность будет точной в одном из следующих случаев:
случай 1: каждый модуль Yn является плоским левым R-модулем;
случай 2: каждый модуль Мп является плоским правым /^-модулем;
случай 3: последовательность Е расщепляется как последовательность правых /^-модулей.
Третье условие означает, что каждая последовательность Кп^ tm -» Мп расщепляется.
Следствие 1.4. Связывающие гомоморфизмы, если они определены, коммутируют с гомологическим и когомологическим умножениями рн и рн.
Доказательство. Этот результат получается сразу, поскольку рн — хр и рн — ip, а естественные отображения т и ? коммутируют со связывающими гомоморфизмами. В утверждении содержатся случаи, когда один из аргументов G, X, G' или X' для Рн заменяется подходящей короткой точной последовательностью. Например, заменим G короткой точной последовательностью Е правых Л-модулей. Предположим, что
(i) X — комплекс плоских левых Л-модулей Хп;
(и) Е расщепляется как последовательность К-модулей;
(iii) X' — комплекс плоских левых Л'-модулей Х'п-
(Эти условия выполняются довольно часто; они выполнены, если X и X' — проективные резольвенты, а К — поле.) Такие условия гарантируют, что Е ® АХ — короткая точная последовательность комплексов К-модулей, что Е ® KG' — короткая точная после-
Hk+l (М) ®R Нт (Y) Л Hk+m+i (М ®й Y)
Hk(K)®RHm(Y)
288
Гл. VIII. Умножения
довательность Q = А® Л'-модулей и что произведение {Е ® G') ® q(X® X') — короткая точная последовательность комплексов К-модулей. Значит, все связывающие гомоморфизмы определены, и диаграмма, подобная диаграмме (1.6), коммутативна.
§ 2. Периодическое произведение алгебр
Если X и X' — резольвенты, то (ко)гомологические умножения рн в рн будут определять соответствующие умножения для Тог и Ext.
Для К-модулей В, А, В', А' внутренняя четверная перестановка
т: (В ® А) ® (В' ® А') (В ® В') ® (А ® А’) (2.1)
