Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
§ 7. Локальные кольца
283
в установлении аналога леммы 6.1, в котором идеал J заменяется идеалом М: когда А = AM, то А — АМп для каждого п и пересечение всех Мп равно нулю. Поучительное изложение этого доказательства можно найти у Эйленберга [1956].
Размерность Крулля k нётерова кольца К — это наибольшее целое число, для которого существует собственная возрастающая цепочка простых идеалов Р0 < Pt < . . . < Ph С К; можно показать, что эта размерность всегда конечна. В локальном кольце L с максимальным идеалом М факторкольцо М/М2 является векторным пространством над полем вычетов L/M; поскольку М — конечно порожденный идеал, то размерность этого пространства п = diml/m М/М2 конечна. Можно показать, что размерность Крулля кольца L не больше п. Говорят, что локальное кольцо регулярно, если его размерность Крулля в точности равна п = = dirriL/м М/М2. Эти локальные кольца представляют наибольший интерес для геометрии. Используя гомологические методы, Серр [19561, а позднее Ауслендер — Буксбаум [1956] доказали (см. также Асмус [1959]) следующий факт:
Т е о р е м а. Локальное кольцо L с максимальным идеалом М регулярно тогда и только тогда, когда h.dimL L/M < оо, или, равносильное условие: тогда и только тогда, когда gl.dim L < оо.
В частности, эта характеристика регулярности позволяет дать простое доказательство того, что если Р — простой идеал регулярного локального кольца L, то кольцо (локальное) частных LP регулярно. До применения гомологических методов эта теорема была известна лишь для некоторых геометрически важных случаев.
Совсем недавно Ауслендер и Буксбаум [1959] доказали предположение Крулля.
Т е о р е м а. Любое регулярное локальное кольцо является кольцом с однозначным разложением на множители.
В доказательстве существенно использована редукция Нага-ты [1958] этого предположения к случаю гомологической размерности 3. Эта теорема содержит, например, классический результат однозначности разложения в кольцах степенных рядов.
Замечание. Периодическое умножение в локальных кольцах приводит к эффективному рассмотрению кратности пересечения подмногообразий алгебраического многообразия (Серр [1958]). Среди многочисленных недавних работ по гомологической размерности нётеровых колец мы отметим работы Тэйта [1957], Ауслендера — Буксбаума [1958], Матлиса [1960], Дженса [1961]. Одно из ранних использований гомологической размерности принадлежит Хохшильду [1945, 1946], открывшему связь (§ 5) между биразмерностью Л и сепарабельностью. Гомологическая теория алгебр Фро-бениуса аналогична теории гомологий групп (Накаяма [1957]; Накаяма — Дудзуку [1960, 1961]; Каш [1961]).
ГЛАВА VIII Умножения
§ 1. Гомологические умножения
При изучении умножений постоянно проявляется связь между «внешними» и «внутренними» умножениями. Эта связь может быть проиллюстрирована на примере гомологических умножений. Если Хв и rY — цепные комплексы Я-модулей, то внешнее гомологическое умножение — это гомоморфизм абелевых групп
Р'‘ Hh (X) Нт(У)—>Hh+m(X ®rY), (1*1)
действующий на циклах и 6 X и и ? У по формуле
р (els и ® els v) = els (и ® v).
Отображение p естественно по X и У; оно уже встречалось в формуле Кюннета. Это умножение ассоциативно: для колец R и S и комплексов Хд, RYS и произведения отображений
р( 1 ®р) = р(р® 1 ):Я*(Х) ®rHi(Y) ®sHm(W)-> -+Hn(X®RY®sW),
где п = k + I + т, равны.
С другой стороны, пусть U есть некоторая DG-алгебра над коммутативным кольцом К. Тогда Я (U) является градуированной К-алгеброй относительно умножения
n:H(U)® H(U)^H{U)t
уже определенного в (VI.7) как
л (els и <g> els v) — els (uv)\
мы назовем это умножение внутренним гомологическим умножением. Внутреннее умножение можно получить из внешнего умножения с помощью отображения умножения лц: U (g) U -*-U как произведение отображений
я = Н (U) ® Я (?/)-> Я (U ® U)-+ Я (U).
§ J. Гомологические умножения
285
Внешнее гомологическое умножение может быть определено с модулями коэффициентов. Возьмем (неградуированные) К-алге-бры Л и Л', комплексы К-модулей АХ и Л'Х\ правые модули GA, G'A’ и положим Q = Л ® Л'. Внешним гомологическим умножением называется отображение рн = тр из диаграммы
Hh{G®AX)® Нт(<?' ®Л'Х')Л Hh+m((G ®АХ)® (G' ®л. X'))
где р — гомологическое умножение (1.1) с R — К, а т — сокращение для Нь+т (т), т. е. для отображения групп гомологий, индуцированного внутренней четверной перестановкой VI (8.4). Это умножение рн естественно и ассоциативно; последнее означает, что коммутативна диаграмма
в которой G и Л всюду опущены.
Теорема 1.1. Для алгебр А и А' над полем гомологическое умножение является изоморфизмом
Доказательство. Все модули над полем свободны, так что по тензорной формуле Кюннета р становится изоморфизмом, а т является изоморфизмом всегда.
Для левых модулей аА и А’А' внешним когомологическим умножением называется отображение рн = tjp из диаграммы
