Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
3. (Общая резольвента Косуля.) Если А — правый ^-модуль, то элемент х Ф 0 ? R называется делителем нуля для А, если ах = 0 для некоторого а Ф О из А. Таким образом, х не является делителем нуля тогда и только тогда, когда отображение а ах есть мономорфизм А >-» А. Если xit . . .
6 Я, то обозначим через Vj правый идеал в R, порожденный элементами . . ., хь. Пусть х\ не является делителем нуля для A/AJh-i ПРИ
каждом k = 1, . . ., п. Доказать, что комплекс А фц ?R [и4......ifo}
с дифференциалом dut — xt и пополнением е: А ® Е0 = А ® R A/AJn, определенным формулой е (a (g) г) = ar+ aJn, дает нам резольвенту ^-модуля A/AJn длины п. (Указание: использовать индукцию по п и применить точную гомологическую последовательность к фактор комплексу комплекса A (g) Е по соответствующему комплексу без ы„.)
Замечание. Этот результат для А = R = F [Art> . . ., хп\ дает предыдущую резольвенту Косуля поля F как P-модуля. Более общий случай полезен в теории идеалов, где последовательность элементов xit . . ., хп при условии, что Xk не является делителем нуля для A/AJ^-i и A/AJn Ф О, называется A-последовательностью для А (Ауслендер — Буксбаум [1957]; вместо нашего А там Е), в то время как наименьшая верхняя грань всех п для таких Л-последовательностей есть коразмерность модуля А.
§ 7. Локальные кольца
В этом параграфе мы приводим без доказательства некоторые из достижений гомологической алгебры в изучении локальных колец. Все рассматриваемые кольца считаются коммутативными.
Простой идеал Р кольца К — это такой идеал, что из rs? Р следует г 6 Р или s 6 Р; это условие эквивалентно требованию отсутствия делителей нуля в факторкольце К/Р. Каждое кольцо К в качестве идеалов имеет множество (0), состоящее только из 0, и все множество К; собственный идеал J d К — это идеал, для которого (0) Ф J ф К. Обратимый элемент и — это элемент, имеющий в К обратный элемент v (vu = 1). Ясно, что ни один собственный идеал не может содержать обратимых элементов.
Локальное кольцо L — это коммутативное кольцо, в котором все необратимые элементы образуют идеал М; в этом случае идеал М должен содержать все собственные идеалы кольца L. Если L не есть поле, то М — максимальный собственный идеал в L. В любом случае М — простой идеал. Более того, ИМ есть поле, поле вычетов кольца L. Для рационального простого числа р кольцо р-ади-ческих чисел есть локальное кольцо, поле вычетов которого — это поле Zp вычетов по модулю р. Другим локальным кольцом является множество всех формальных степенных рядов с неотри-
282
Гл. VII. Размерность
дательными степенями от п неизвестных хи хп с. коэффициентами из поля F; степенной ряд имеет (формальный) обратный тогда и только тогда, когда его свободный член не равен нулю, поэтому максимальный идеал состоит из всех формальных степенных рядов с нулевым свободным членом, а поле вычетов есть F.
Если Р — простой идеал области целостности D, то кольцо частных DP — это множество всех формальных частных alb, где а, Ъ 6 D и b не лежит в Р, с обычным равенством alb — a'lb' тогда и только тогда, когда ab' = а'Ь. Эти частные образуют кольцо относительно обычных операций alb + a'lb' — (ab' + a'b)lbb', (alb) (a'lb') = aa'lbb'. Такое частное alb имеет обратный элемент Ыа в DP тогда и только тогда, когда а $ Р, следовательно, DP — это локальное кольцо, максимальный идеал которого состоит из всех частных alb, а 6 Р; если мы рассмотрим DP как D-модуль, то этот максимальный идеал можно записать как PDP. Например, если D — кольцо всех многочленов от п неизвестных над алгебраически замкнутым полем С, то множество всех нулей идеала Р, т. е. множество всех таких точек (сь . . сп), что f (ci, . . сп) = = 0 для каждого f ? Р, является неприводимым (аффинным) алгебраическим многообразием V. Соответствующее локальное кольцо DP известно как кольцо рациональных функций на многообразии V; действительно, для каждого формального частного fig ? DP можно определить значение частного fig в каждой точке (сь . . . , с„), лежащей в V, положив его равным / (clf . . ., cn)/g (сь . . сп). Аналогично точка многообразия V ассоциируется с простым идеалом, содержащим Р, а кольцо рациональных функций в этой точке является локальным кольцом. Этот пример объясняет слово «локальный».
К-модуль С называется нётеровым, если каждый подмодуль модуля С конечного типа; это эквивалентно условию, что С удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепочек подмодулей: для каждой последовательности cz . . . cz С* cz Ch+i cz . . . подмодулей модуля С есть такой номер п, что Сп = Сп+1 = . . . . Само кольцо К называется нётеровым, если оно является нётеровым К-модулем. В теореме Гильберта о базисе утверждается, что кольцо многочленов от п неизвестны» над полем является нётеровым. Модуль конечного типа над нётеровым кольцом сам нётеров.
Над нётеровым кольцом естественно рассматривать категорию всех нётеровых модулей; каждый подмодуль или фактормодуль такого модуля снова есть нётеров модуль. Приняв это соглашение, можно доказать теорему Гильберта о сизигиях для нётеровых локальных колец: в формулировке теоремы 6.4 нужно заменить полиномиальное кольцо локальным кольцом L, поле коэффицентов полем вычетом L/М и «градуированный модуль» «конечно порожденным модулем». Основная трудность доказательства состоит
