Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 5.2. Если f — семейство К-билинейных функций fp, q'- Gp х Aq ->¦ Mp+q, внутренне А-ассоциативных в том смысле, что f (gX, а) — f (g, Ха) для всех g, X, а, то существует такой единственный гомоморфизм со: G 0д А ->• Л4 градуированных К-модулей степени нуль, что © (g 0 а) = f (g, а).
Доказательство. Каждая функция /р,д билинейна и, следовательно, определяет гомоморфизм w'Ptq : Gp 0 А9 -> Mp+q, для которого ©' (g 0 а) = fp>q (g, а); внутренняя ассоциативность гарантирует, что со' обращается в нуль на образе гомоморфизма <р последовательности (5.7) и, значит, со' ивдуцирует отображение со на коядре G 0 лЛ гомоморфизма <р с нужными свойствами.
Из этого результата следует, что Л-модульные гомоморфизмы у : G G' п а : А А' степеней due соответственно определяют гомоморфизм у 0 a : G 0Л A ->-G' 0л А' градуированных К-модулей степени d + е:
(У <8> a) (g ® а) = (- ijW'WX'1**) yg 0 аа; (5.8)
при таком определении гомоморфизмы (у 0 а) и (у' 0 а') перемножаются естественным образом и со знаком (—l)(de8“) Weev'). В частности, G 0д А — это ковариантный и биаддитивный бифунктор из категорий и АаМ правых и левых Л-модулей в категорию градуированных К-модулей. Из определения (5.7) следует, как и в предложении 5.1, что этот функтор переводит точные справа последовательности (по G или А) в точные справа последовательности.
16—353
242
Гл. VI. Типы алгебр
Модули над другими типами алгебр (Z-градуированные, бигра-дуированные и т. д.) определяются соответственно. Заметим, что каждый A-модуль А автоматически несет структуру того же типа, что и А (например, градуирован, если алгебра А градуирована, биградуирован, если А биградуирована). Мы можем ввести модули с дополнительной структурой: так, градуированный модуль над неградуированной алгеброй А — это модуль над алгеброй А, рассматриваемой как тривиально градуированная — в точности так же, как мы рассматривали градуированные модули над коммутативным кольцом К.
Если А и 2 —две градуированные К-алгебры, то А-2-бимодуль А (записываем, как лЛя)—это градуированный К-модуль, который одновременно является левым A-модулем и правым 2-модулем и в котором равенство (Яа) а — Я (аа) имеет место для всех Я ? А, а ? А, а ? 2. Это условие равносильно коммутативности подходящей диаграммы. Заметим, что ka = (klA) а =
— a (k\z), так что та же самая К-модульная структура в А возникает из левой А-модульной структуры при «отступлении» вдоль
I : К -> А или из правой 2-модульной структуры при «отступлении» вдоль / : К -»*2. Например, любая градуированная алгебра А является А-А-бимодулем. Поскольку А — левый А-модуль, а 2—правый 2-модуль, тензорное произведение А®к 2 есть А-2-бимодуль, а именно свободный бимодуль с одним образующим 1(8)1. Аналогично тензорное произведение Л В модулей ЛА и Bs каноническим образом превращается в А-2-бимодуль: Я (а ® Ь) о =--¦ Яа ® Ьо.
То случайное обстоятельство, что у буквы две боковые стороны, совсем не означает, что бывают лишь односторонние модули и бимодули. Действительно, мы естественным образом приходим к три-модулям; например, тензорное произведение Л 0КВ модулей ЛЛ и s Вцканонически становится правым Q-модулем и левым А-2-модулем. Здесь мы называем С левым А-2-модулем, если он одновременно и левый A-модуль и левый 2-модуль, причем
Я (ас) = (— i)<de*
для всех Я 6 А, о ? 2, с ? С.
К счастью, мы можем свести тримодули к бимодулям и даже к левым модулям над единственной алгеброй. Если положить (Я <8> сг) с = Я (ас), то тогда каждый левый А-2-модуль можно рассматривать как левый (А ® 2)-модуль или обратно. Аналогично имеются логические эквивалентности
^2 (Л®2°рИ’ (5-9)
которые устанавливаются формулами оорЬ = (— l)Wego) (degto (Я ® ст°р) а = (— 1) (<ieg о (deg а)Хао. Это сведение дает возмож-
§ 6. Когомология свободных абелевых групп
243
ность определить Horn и <g) для бимодулей. Так, для бимодулей sGa и лЛе бимодульное тензорное произведение
G ® = ® (Л®20Р) ^ (5.10)
является по (5.7) фактормодулем К-модуля G <2>к А по градуированному К-подмодулю, порожденному всеми элементами вида
gX (g) a — g <g) Xa, ag <g) a — ( — l)(deg<J)(degg+dega;g <g)act.
Равенство нулю первых выражений означает внутреннюю А-ассо-циативность; то же равенство для вторых выражений означает внешнюю S-ассоциативность. Аналогично, градуированный К-модуль бимодульных гомоморфизмов из дСх в лА 2 записывается как Ношл-z (С, А) = Нош(л®2оР) (С, А).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Неградуированная К-алгебра Л — это кольцо R, снабженное кольцевым гомоморфизмом / : К R, образ которого I (К) лежит в центре кольца R. Показать, что левый Л-модуль А — это в точности левый ^-модуль, в котором К-модульная структура определяется «отступлением» вдоль 1. Показать также, что НотА (С, А) = HomR (С ,А) и <3 ® ДЛ =
= G <2>
2. Как и в упражнении 1, свести модули над градуированной алгеброй Л к модулям над алгеброй Л, рассматриваемой как градуированное кольцо (см. упражнение 3.4).
