Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 10

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 227 >> Следующая

§ 4. Прямые суммы
29
Предложение 4.3. Следующие свойства короткой точной последовательности (i\ я") : >¦ В -» Л2 эквивалентны.
(i) для я" существует правый обратный iА2 В, т. е. я "i" = = 1;
(ii) для i” существует левый обратный я': В-+Аи т. е. яЧ' =1;
(iii) данная последовательность изоморфна последовательности
0->Л! Л Л!0Ла Д Л2->0,
причем Ai и /4 2 отображаются в Ai и Аг соответственно тождественным образом.
Говорят, что короткая точная последовательность, обладающая одним из этих свойств (а значит, и всеми) расщепляется (некоторые авторы говорят., что последовательность несущественна).
Доказательство. Сразу заметим, что из утверждения (iii) следуют утверждения (i) и (ii). Обратно, из точности последовательности вытекает, что i' индуцирует изоморфизм At ^ Кег я", так что из (i) следует (iii) ввиду предложения 4.2. Аналогично из (ii) следует (iii).
Теперь рассмотрим пары нетерминальных гомоморфизмов аь а2, образующих диаграмму вида
(4.4)
Говорят, что эта диаграмма универсальна относительно At и Аг, если для любой диаграммы DА, -> В” ч- Л2 с теми же модулями на концах существует единственный гомоморфизм D в D', тождественный на каждом Aj. Другими словами, D универсальна, если в каждую прямоугольную диаграмму
Ai Л В Д2
с D в качестве первой строки и тождественными отображениями по крайним вертикалям можно вставить единственным образом среднюю стрелку так, что вся диаграмма станет коммутативной (Pat = a^, Pa2 = a;).
Предложение 4.4. (Инъективная) диаграмма прямой суммы А1->-А1@А2ч-А2 универсальна относительно Ау и А2. Обратно, любая диаграмма (4.4), универсальная относительно Aj, изоморфна этой диаграмме прямой суммы (причем в этом изоморфизме диаграмм при At и Аг стоят тождественные отображения).
30
Гл. I. Модули, диаграммы и функторы
Доказательство. Для доказательства универсальности Ai ® А2 определим гомоморфизм р, требуемый в диаграмме (4.5), равенством P(at, а2) — ага2, т. е. р = a'nj -f- а'л2; это является единственной возможностью для определения р. Чтобы доказать обратное утверждение, достаточно установить, что любые две универсальные относительно At и А2 диаграммы изоморфны (причем в этом изоморфизме на концах стоят единицы). Предположим, что обе строки в диаграмме (4.5) универсальны. Поскольку верхняя строка универсальна, существует гомоморфизм р : В В" такой, что Ра^ = а}; поскольку нижняя строка универсальна, существует такой гомоморфизм рВ'В, что p'aj = aj. Тогда (Р'Р) aj = aj, j — 1, 2. Ho lrfij = aj, откуда в силу свойства единственности для верхней строки Р'Р =1в- Аналогично свойство единственности для нижней строки дает 1В< = рр*. Следовательно, Р и Р' — взаимно обратные изоморфизмы, что и требовалось доказать.
Поскольку универсальная диаграмма единственна с точностью до изоморфизма, отображения а} в любой универсальной диаграмме относительно At и Л2 являются мономорфизмами, так как они мономорфизмы в диаграмме внешней прямой суммы.
Заметим, что вторая половина доказательства этого предложения не использует элементов модулей, а использует только формальные заключения о гомоморфизмах. Поэтому это доказательство справедливо в любой категории; смысл этого понятия скоро будет разъяснен (§ 7).
Двойственно, пара коинициальных отображений, образующая диаграмму D: At С-> Аг, коуниверсальна относительно At и Аг, если для каждой прямоугольной диаграммы
А1 Д С Д Аг
с D в качестве первой строки и единицами для Aj в качестве вертикальных отображений имеется единственный способ построения среднего гомоморфизма, отмеченного пунктирной стрелкой, который делает диаграмму коммутативной. Читателю предлагается доказать
Предложение 4.5. Диаграмма прямой суммы
Ai2-Ai@A2^A2
коуниверсальна относительно Ai и А2. Обратно, любая коунивер-сальная диаграмма относительно Ai и А2 изоморфна указанной диаграмме (причем в этом изоморфизме крайние отображения — единицы).
§ 4. Прямые суммы
31
Прямые суммы более чем двух модулей строятся аналогично. Например, элементы прямой суммы At © Аг @ А3 могут рассматриваться как упорядоченные тройки (аи а2, а3) или как функции множества индексов (1, 2, 3} с а (г) ? At. Вообще для произвольного семейства модулей {At}, отмеченных элементами множества Т, декартовым произведением *) [JtAt считается множество всех таких функций /, определенных на множестве Т со значениями в объединении множеств At, для которых f (t) 6 At для каждого t. Определим модульные операции «покомпонентно», т. е. определим функции / + /' и г/ для г 6 R посредством равенств
(/+/') (9=/(*)+ПО, (rf)(t) = r(f(t)), t?T.
Тогда будет #-модулем. Гомоморфизмы щ : \\tAt А,
определенные равенствами ntf = f (t), называются проекциями декартова произведения.
Для данных модулей At рассмотрим диаграмму {yf : В -> At} с дополнительным модулем В и гомоморфизмами yt, заданными по одному для каждого t 6 Т. Эта диаграмма коуниверсальна относительно всех At, если для каждой диаграммы {y't : В" At\t 6 Т1} существует единственный гомоморфизм Р : В" -> В, удовлетворяющий равенствам y't = ytp для всех t. Проекции полного прямого произведения образуют такую коуниверсальную диаграмму, и, как прежде, две такие диаграммы изоморфны.
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed