Физические методы исследования белков и нуклеиновых кислот - Лазуркина Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Расчет структурного фактора или Фурье-трансформации ячейки для отражений с индексами hkl производится следующим образом. Мы можем рассматривать ячейку как систему дискретных центров рассеяния —¦ атомов.
Само рассеяние происходит главным образом на электронных оболочках атомов; ядра как значительно более тяжелые практически никакого вклада в общее рассеяние не дают. Способность атома рассеивать рентгеновские лучи характеризуют функцией f, которая возрастает с ростом числа электронов в атоме и убывает с увеличением угла рассеяния. При расчете структурного фактора определяется вклад каждого из атомов в результирующую рассеянную волну. Он равен
/ ехр 2ni (hx + ky + lz).
Здесь х, у, г — координаты атома в ' элементарной ячейке, определяемые долями длины основных ее векторов; h, k, I — индексы отражающей плоскости. Структурный фактор это сумма вида:
Гш = h ехР 2ni (hxi + kyi + /гх) + /2 ехр 2яi (hx2 + ky2 + 1гг)-f ...
... + /„ ехр 2ni (hxn + kyn + lzn)-,
п
= 2] fiexp 2ni {hx> + kyi + lzi)-/=*1
Суммирование Проводится по всем атомам ячейки, число их равно п, /у — функция атомного рассеяния атома /, зависящая от структуры его электронной оболочки лгу(; Zj — координаты атома / в элементарной ячейке.
Если мы считаем, что распределение рассеивающего вещества в ячейке непрерывно, то сумму Фурье следует заменить интегралом Фурье по объему элементарной ячейки.
^hkl
,yyz) exp 2т (fix + ky + lz) dx dy dz. (50
Здесь p (x,y,z) — функция распределения рассеивающего вещества — электронной плотности (см.? ниже).
В общем случае структурный фактор — это комплексная величина. Она может быть представлена формулой^/! ~\~ iB. Как известно, всякое комплексное число характеризуется модулем
и фазой; модуль —это | Fhkl | — У А2 + В2, а фаза—это угол определяемый из соотношения
В
tgcphki~—* Изобразив комплексное число векто-А
ром в комплексной плоскости (рис. 10), мы видим, что модуль — это длина вектора, а фаза — угол, который^он образует с осью абсцисс.
Координаты атомов XjyjZj зависят от тогоэ
где выбирается начало координат элементарной ячейки. Легко показать, что | Fhkl | не зависит
от выбора начала координат, меняются лишь абсолютные значения фаз, однако их разности сохраняются.
Таким образом, модули структурных амплитуд и разности их фаз — характеристики определенного расположения атомов в элементарной ячейке.
На практике измеряются интенсивности отраженных кристаллом лучей, они пропорциональны квадрату структурного фактора, т. е. сумме квадратов его действительной и мнимой части.
Если нам известно лишь значение А2 + ?2, то тем самым нам язвестна лишь длина вектора или его модуль, соответствующий
У^Л2 + Б2, но об его угловой ориентации, которая определяет фазу, мы ничего не знаем. Это означает, что непосредственно из эксперимента мы получаем лишь часть информации, необходимой для определения пространственного расположения атомов в элементарных ячейках.
Как уже указывалось, основная и принципиальная трудность метода рентгеноструктурного анализа и состоит в отсутствии универсальных способов экспериментального определения фаз структурных факторов. Если для какого-либо кристалла фазы определены, то как будет показано ниже, расчет положений атомов в элементарной ячейке этого кристалла не составит принципиальных трудностей.
Рис. 10. Изображение структурного фактора в виде вектора в комплексной плоскости
и. Определение симметрии кристалла по рентгенограммам; собственная симметрия молекул белков и вирусных частиц
Наличие определенных элементов симметрии в кристаллической структуре приводит к тому, что координаты некоторой группы атомов в элементарной ячейке оказываются связанными определенными соотношениями с координатами атомов другой такой же группы. В зависимости от того, каковы эти соотношения, некоторым отражениям будут соответствовать вполне определенные значения структурного фактора. Так, например, для некоторых из них структурный фактор может обратиться в нуль, некоторым отражениям могут соответствовать равные значения структурных факторов и т. д. [1—3, 9, 10].
Подставив в формулу для структурного фактора координаты атомов симметрически связанных групп, можно доказать следующие соотношения.
Открытые симметрические операции, такие, как плоскости симметрии и простые поворотные оси разных порядков, проявляются в виде точно таких же элементов симметрии на рентгеновских дифракционных картинах. Эти элементы симметрии пересекаются всегда в нулевом узле обратной решетки. Винтовые оси проявляются на рентгенограммах так же, как и простые поворотные оси. Кроме того, винтовые оси и плоскости скольжения приводят к специфическим погасаниям рентгеновских отражений с определенными индексами для каждого элемента симметрии.
