Биометрия - Лакин Г.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
средней взвешенной m=Hmfi/N и q- ¦=1-р.
Пример 3. В табл. 23 приведены результаты опыта Рома-ювского по
проверке биномиального закона Бернулли. Выяснить, согласуются ли
полученные в опыте данные с моделью шномиального распределения. Начнем с
определения взвешен-юй средней (т) ряда:
т 0 12 3 4
ft 6 24 38 25 7 2^ = ЛГ=100
mfi 0 24 76 75 28 = 203
Отсюда т=203/100=2,03 и п=4. Тогда р=т/п=2,03/4= =0,5075"0,508; <7=1-
р=0,492. Получается следующая эм-лирическая формула: 2/'=
100(0,508+0,492)4.
Для того чтобы рассчитать по этой формуле теоретически ожидаемые
частоты ряда, необходимо, как и в предыдущем
77
случае, подобрать биномиальные коэффициенты, на которыь будут умножены
значения р и q. В данном случае ряд распре деления состоит из пяти
членов, ему соответствуют следующие биномиальные коэффициенты: 1 4 6 4 1.
Строим вспомогательную таблицу, первая графа которо! заполняется
"классами" вариационного ряда т. Во второй гр& фе начиная со второго
класса (сверху) помещен р=0,508, i. <7=0,492 вносим в третью графу
таблицы, отступив на одиь шаг от последнего класса (табл. 25).
Таблица 2Г
m рт q п ---т К pmqn---mR г- Округлен
-100 (Р">Х ные
n-m/C) значения
1 2 3 4 5 6 7
0 1,000 0,059 1 0,059 5,9 6
1 0,508 0,119 4 0,242 24,2 24
2 0,258 0,242 6 0,375 37,5 37
3 0,131 0,492 4 0,258 25,8 26
4 0,066 1,000 1 0,066 6,6 7
Сумма --- --- 16 1,000 100,0 100
Затем последовательно находим р2, р3, р4 и т. д., а также д2 q3, q4 и
так до конца ряда. Именно: р2= (0,508)2 = 0,258; р3- = (0,508)3 = 0,131 и
т. д. Таким же образом рассчитаны значения q. Дальнейшие действия понятны
из табл. 25. Указанием на тс что р и q рассчитаны правильно, служит
равенство 2 (pmqn~mK) = = 1. Умножая величины (pmqn~mK) на общее число
наблюдений (N), которое в данном случае равно 100, получаем теоретически*
(выравнивающие) частоты f' ряда.
Если решать эту задачу на модели с известной вероятностью приняв для
каждого исхода комбинаций "герб-решка" p=q- = 0,5, то получается
следующий результат:
2/' = 100(0,5+0,5)4=10of-+ -W Л J ^ U6 16
16 ^16 16у
=6,25 + 25,00 + 37,50 + 25,00 + 6,25 = 100.
Результат вычисления близок к тому, который был получен hl модели с
неизвестной вероятностью, хотя полного совпадения между этими данными
нет.
111.6. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА
Характер биномиальной кривой определяется двумя величина ми: числом
испытаний п и вероятностью р ожидаемого результ*
78
та. При p = q биномиальная кривая строго симметрична и по мере увеличения
числа испытаний приобретает все более плавный ход, приближаясь к своему
пределу - нормальной кривой (см. ниже). Если рфц, биномиальная кривая
становится асимметричной и тем сильнее, чем больше разница между р и q.
Когда вероятность события очень мала и исчисляется сотыми и тысячными
долями единицы, распределение частот таких редких событий в п независимых
испытаний становится крайне асимметричным. Для описания такого рода
распределений редких событий служит формула Пуассона
(42)
где аягпр - наивероятнейшая частота ожидаемого события; т - частота
ожидаемого события в п независимых испытаний; е=2,7183 - основание
натуральных логарифмов; т - факториал или произведение натуральных чисел
1-2-3-4...т.
Формула Пуассона позволяет определять вероятность для любых значений а
от 0 до п. Например, для а - 2 вероятность того, что событие А в данных
условиях не осуществится, будет равна
р-=о,1353.
0 0!е2 (2,7183)2 7,339
Вероятность единичного осуществления ожидаемого события при этих условиях
выразится следующей величиной:
1!е2 (2,7183)2 7,389
=0,2707.
23 g
Для трех случаев Ръ ---------=------=0,1805 и т. д.
3! 44,334
(см. табл. III Приложений).
Чтобы формула Пуассона выражала не вероятности, а ожидаемые абсолютные
частоты f редкого события, ей придают следующий вид:
f'=nire~x- (43)
Здесь /' - теоретические ординаты кривой распределения Пуассона, или
ожидаемое число случаев редкого события в каждом отдельно взятом классе
испытания - 0, 1, 2, 3, 4 и т. д.; п - число испытаний; х - среднее число
фактически наблюдаемых случаев (взятое вместо а); объяснения остальных
символов те же, что в формуле (42).
Распределение Пуассона - частный случай биномиального распределения.
Оно, как и биномиальное распределение, прнбли-
79
РпШ
жается к нормальной кривом (см. ниже) при
