Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Лакин Г.Ф. -> "Биометрия " -> 34

Биометрия - Лакин Г.Ф.

Лакин Г.Ф. Биометрия — Высшая школа, 1990. — 350 c.
Скачать (прямая ссылка): biometriya1990.djvu
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 155 >> Следующая

имеющего постоянную вероятность q, причем p-\-q=\. При этих условиях,
если событие А в п испытаниях появится т раз, собь тие Л будет
встречаться п-т раз. Вероятность любого исхода : (Рп{т)) независимо от
того, в каком порядке эти события че редуются, выразится произведением
pmqn~m (по правилу yiv. иожения вероятностей), умноженным на биномиальный
коэсг-
фициент Сп П|-~ . т. е.
да! (п - т)\
Рп (т) =Cnpmqn~m. (37
Эта формула (формула Бернулли) позволяет находить вь роятность того,
что из п взятых наугад элементов окажется п ожидаемых.
Пример 1. Какова вероятность появления 0, 1, 2, 3, 4, 5 ос с-бей
мужского пола в числе пяти новорожденных? Можно по казать, что возможна
серия из пяти (п- 5) повторных наблк-дений с двумя исходами. При этом
появление особей мужскогс пола (событие А) может иметь в серии различное
числово1 выражение т от 0 до 5, как и противоположное событие Л (по
явление особей женского пола). В каждом испытании вероят
1 Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд. Т. 25. Ч. II. С. 396.
3 Читается: вероятность появления события А в п испытаниях т ра"
72
ность появления события А(р) или A(q) будет одинаковой и равной 0,5.
Вероятность того, что в "пятерке" не будет ни од-
51
ной особи мужского пола, составит Р5(0)=------------------(0,5)°Х
01 -51
X(0,5)5 = 1 • 1 -0,03125=0,03125. Вероятность того, что в "пятерке"
окажется одна особь мужского пола, составит Рь( 1) =
= -?!- (0,5)1 (о,5)4 = - (0 5) 0,0625 = 0,15625.
11-4! 1-24
Аналогично определяем: Р5(2) = 10(0,25) (0,125) = 0,3125; Р5(3)
=0,3125; Рь (4) =0,15625; Р5 (5) =0,03125. Легко убедить-
П
ся, что 2 Рп(т)= 1- Точно так же можно вычислить вероят-
яг="0
ность осуществления т. любых событий в п независимых испытаниях при
условии постоянства вероятности появления события (Рл(Л)). Совокупность
этих вероятностей - Рп(0), Рл(1),... ...,Рп{т)-называется биномиальным
распределением.
Можно показать, что
^ Pn{m) = (p-\-q)n. (37а)
171-0
Так, при п = 2 возможны следующие исходы:
Результаты испытаний АА АА АА АА Вероятность исходов р2 pq qp q2
или (p-\-q)2=p2-\-2pq-\-q2 = 1. При трех независимых испытаниях возможно
23 = 8 исходов, вероятности которых распределятся следующим образом: (p-
\-q)3=p3-\-3p2q-\-3pq2-\-q3 и т. д. Следовательно, закон биномиального
распределения выражается не только формулой Бернулли, но и формулой
бинома Ньютона:
(р + q)n=рп + tipn~xq + рп-У +... + qn. (38)
Так, например, при я=10 возможны 210 = 1024 исхода, которые распределятся
следующим образом: Рю(т) = (0,5+0,5)10 = =
1/1024+10/1024+45/1024+120/1024+210/1024+252/1024 + +210/1024+120/1024 +
45/1024 + 10/1024 + 1/1024 = 1. Если этот ряд представить в виде графика,
как показано на рис. 7, получается полигон биномиального распределения,
где ординаты соответствуют членам разложения бинома (1/2+1/2)10. Из рис.
7 видно, что биномиальная кривая строго симметрична относительно
максимальной ординаты, являющейся центром биномиального распределения.
73
Из приведенного примера также следует, что распределение
П
вероятностей "S Рп W = (Р + 0я соответствует коэффициен
те-О
там разложения бинома Ньютона, отнесенным к одному и тому же знаменателю,
равному 2Г Биномиальные коэффициент легко вычислить при помощг
арифметического треугольнике. Паскаля, в котором каждая циф ра находится
суммирование!* двух цифр, стоящих над нек (табл. 22).
Сумма биномиальных коэср фициентов для любой степень, бинома, как это
видно из таб/. 22, равиа 2".
Характер биномиального pat пределения не изменится от способа
выражения исходов испытаний- в значениях вероятности или в абсолютных
значения; частоты ожидаемого результата. В том и другом случае
биномиальный закон выражет зависимость между частотой ожидаемого
результата и числом независимых испытаний, проведее-
Таблица 2:
п Биномиальные коэффициенты 2Г
0 1 1
1 1 1 2
2 1 2 1 4
3 13 3 1 8
4 1 Ь Ь Ц \ 16
5 1 5 10 10 5 1 32
6 1 6 15 20 14 6 1 64
7 1 7 21 35 35 21 7 1 128
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 256
9 1 9 36 8k 126 126 № 36 9 1 512
Ю 1 10 45 120 210 252 2Ю !20 К 10 1 102Ь
.. _ я
и т.д.
74
Р(т)
Рис. 7. Распределение вероятно-
/1 1 \ю
стей двучлена I - + - I
ных в отношении случайного события А. Причем частота т появления
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 155 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed