Биометрия - Лакин Г.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
111.3. ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА
Случайное событие можно предсказать лишь с некоторой уверенностью или
вероятностью, которую данное событие имеет. При этом вероятность
рассматривают как числовую меру объективной возможности осуществления
события А при единичном испытании и обозначают символом Р(А). Согласно
классическому определению, вероятность события А выражается отношением
числа благоприятствующих осуществлению этого события исходов пг к числу
всех равновозможных и несовместных исходов п, т. е.
Р{А)~т\п. (36)
Например, в урне находится 5 белых и 10 черных шаров. Наугад вынимают
один шар. Какова вероятность, что вынутый шар окажется белым? Так как из
общего числа 15 шаров в урне 5 белых, то из "=15 возможных исходов лишь
т=5 "благоприятствуют" осуществлению ожидаемого события, т. е. появлению
в однократном испытании белого шара. Отсюда вероятность этого события
Р=5/15= 1/3"0,33, т. е. чем больше шансов, благоприятствующих наступлению
ожидаемого события, тем выше его вероятность.
Из "классического" определения вероятности следует, что она
представляет число, заключенное между нулем и единицей (0^Р(Л)^1), т. е.
выражается в долях единицы (может быть выражена в процентах от общего
числа испытаний). Очевидно, вероятность достоверного события А равна
единице, а вероятность невозможного события А равна нулю. Из этих
аксиома-
68
тических свойств вероятности следует, что вероятность события А и
вероятность противоположного события Л (не А) в сумме равны единице, т.
е. Р(Л)+Р(Л) = 1.
Считают, что события, имеющие очень малую вероятность, в единичных
испытаниях ие произойдут, т. е. такие события рассматривают как
практически невозможные. Если же вероятность события достаточно велика,
его принято считать практически достоверным. Этот принцип практической
уверенности в прогнозировании исходов случайных событий позволяет
использовать теорию вероятностей в практических целях.
Для упрощения символики принято значение вероятности ожидаемого
события обозначать строчной латинской буквой р, т. е. тем же знаком,
которым обозначается частость, а значение вероятности противоположного
события - буквой <7, т. е. Р(А)=р и P(A)=q, откуда p-\-q=\.
Вероятность, которую можно указать до опыта, называют априорной.
Например, при подбрасывании монеты заранее известно, что она может упасть
вверх гербом или решкой. Здесь только два возможных исхода, вероятность
которых одна и та же: р= 1/2=0,5. Иное дело, например, испытание действия
на организм различных доз лекарственных или токсических веществ. В таких
случаях результаты отдельных испытаний заранее, до опыта, указать
невозможно; вероятность осуществления таких событий может быть
установлена только на основании опыта, т. е. апостериорно.
Встречаются, однако, и такие события (и их немало), ис-;ход которых,
как правило, отклоняется Ът их вероятности. Яр-зсим примером такого рода
событий служит соотношение полов ;в потомстве многих животных и человека.
Известно, что пол |дотомства определяется в момент оплодотворения, когда
в зиготу привносятся либо XX-, либо XY-хромосомы.. Вероятность ^появления
в потомстве мужских и женских особей одна и та "же: р= 1/2. Это означает,
что на 1000 новорожденных детей |следует ожидать примерно равное число
мальчиков и девочек. |В действительности же равновеликого соотношения
полов в |ротомстве не наблюдается. Так, по данным шведской статистики за
1935 г., на каждую тысячу новорожденных число родившихся девочек
составляло на протяжении года от 473 до 491
?ри средней частоте, равной 482; относительная частота, или астость,
новорожденных девочек 482/1000=0,482, а частость ^рождения мальчиков
(1000-482)/1000 = 0,518. Можно также Цривести данные австрийской
статистики о новорожденных дедах за период с 1866 по 1905 г., т. е. за 40
лет. Доля новорожденных мальчиков за этот период колебалась от 0,512 до
0,518 8* составляла в среднем 0,515.
t Из этих примеров видно, что при достаточно большом числе испытаний
частости новорожденных девочек и мальчиков от-
69
клоняются, хоть и незначительно, от вероятности этих событии равной
0,500. В таких случаях о вероятности событий прииятс. судить по
предельным значениям частости, обладающей устор-чивостью. Отсюда в
отличие от "классической" вероятное(tm) частости случайных событий, а точнее
- их предельные значения, обладающие определенной устойчивостью, принято
назь-вать статистической вероятностью этих событий. Так что числе 0,482
или округленно 0,48, возле которого колеблются значе ния частости
рождения девочек, можно принять за вероятности этого события. В то же
время статистическая вероятность пояь ления в потомстве мальчиков будет
равной 0,52.
111.4. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
Многочисленные опыты и наблюдения показали, что часто сти ожидаемых
случайных событий приближаются к их вероятности по мере увеличения числа
