Биометрия - Лакин Г.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
variance - изменение) вместо математического термина "дисперсия", который
биометрики (Н. А. Плохинский, 1970; и др.) стали применять для
обозначения суммы квадратов отклонений. Так возник разнобой в терминах
математики и биометрии, что весьма нежелательно. Чтобы избежать
указанного разнобоя в настоящем руководстве не делается различия между
терминами "варианса" и "дисперсия", под которыми понимают средний квадрат
отклонений, а для обозиачения суммы квадратов отклонений вводится
предложенный Дж. Юлом и М. Кендэлом (1960) термин "девиата" (от лат,
deviatio - отклонение от чего-либо) ,
46
ется следующим образом:
*
2 fi(xt-x)2 п "2 1 = 1
Разность п-1, обозначаемую в дальнейшем строчной буквой латинского
алфавита k, называют числом степеней свободы, под которым понимают число
свободно варьирующих единиц в составе численно ограниченной
статистической совокупности.
Так, если совокупность состоит из я-го числа членов и характеризуется
средней величиной х, то любой член этой совокупности может иметь какое
угодно значение, не изменяя при этом среднюю *, кроме одной варианты,
значение которой определяется разностью между суммой значений всех
остальных вариант и величиной пх. Следовательно, одна варианта численно
ограниченной статистической совокупности не имеет свободы вариации.
Отсюда число степеней свободы для такой совокупности будет равно ее
объему п без единицы, т. е. k=ti-1. А при наличии не одного, а нескольких
ограничений свободы вариации число степеней свободы вариации будет равно
k=n-v, где v (греческая буква ню) обозначает число ограничений свободы
вариации.
Дисперсия обладает рядом важных свойств, из которых необходимо
отметить следующие.
1. Если каждую варианту совокупности уменьшить или увеличить на
одно и то же постоянное число А, то дисперсия не 'изменится:
2КХ1-А)-(Х-А)]*= -L-2(X[-Xf.
Пример 11. Рассмотрим вновь совокупность, состоящую из шести вариант:
7, 9, 15, 10, 11, 8. Характеристики этой совокупности х- 10 и sx2=8.
Уменьшим каждую варианту на шесть единиц и вычислим дисперсию:
XI-6) 1 3 9 4 5 2
Xi-x*) -3-1+5 0 +1-2
{Xi-x*)2 9 1 25 0 1 4
Отсюда следует, что дисперсию можно вычислить не только по значениям
варьирующего признака, но и по их отклонениям от какой-либо постоянной
величины А.
2. Если каждую варианту совокупности разделить или умножить иа одно
и то же постоянное число А, то дисперсия уменьшится или увеличится в Аа
раз.
*¦=24/6=4
S (xt-x*)t 40
л-1 5
*
2 ft(X[ - Xf
--------.---------(14)
47
Доказательство: s'= 2
А также sl= -- 2 (хгЛ-хЛ)2==-Ц-2 (•*/--к)2 Л2. п - 1
Л - 1
Пример 12. Проиллюстрируем это свойство на том же примере. Разделим
каждую варианту на 2, т. е. 7/2=3,5; 9/2= *= 4,5 и т. д., и вычислим
дисперсию для совокупности умень шенных вдвое вариант:
х/2 3,5 4,5 7,5 5,0 5,5 4,0 х* = 30/6 = 5
(х,-i*) -1,5 -0,5 +2,5 0 +0,5 -1,0
(Х(-х*)г 2,25 0,25 6,25 0 0,25 1,0 s*2= 10/5=2
Из этого свойства следует, что при наличии в совокупность многозначных
вариант их можно сократить на какое-то постояр ное число Л и по
результатам вычислить дисперсию. Затем по лученную величину умножить на
квадрат общего делителя Л-что и даст искомую величину дисперсии. Так, в
данном случае s*2=2-22=8.
На основании математических свойств средней арифметиче ской и
дисперсии нетрудно составить сводку правил по преобра зованию
многозначных и дробных чисел, которую полезно и-пользовать при обработке
биометрических данных (табл. 9).
Таблица I
Способы Какие поправки иужио внести в конечные результаты
преобразо при вычислении дисперсии средней арифметической
вания
чисел
х---А Поправка не нужна Прибавить число А
(х---А)К Разделить иа д8 Разделить на /Си прибавить
число А
Сх-А)1К Умножить на К} Умножить иа К и прибавить
число А
х/К Умножить иа А2 Умножить иа А
хА Разделить иа Аг Разделить на А
В этой таблице А - произвольно взятое число, обычно близкое к величине
минимальной варианты *min; К - произвольноь число, позволяющее
преобразовывать дробные числа; х- о1 дельные числовые значения признака,
т. е. варианты.
Следует также иметь в внду, что вместо S(*i^-*)2 можн< использовать
.(2*02
(2*г)2
; 2 х2-пх2.
48
Отсюда можно вывести следующие рабочие формулы, удобные при вычислении
дисперсии непосредственно по значениям варьирующего признака:
Среднее квадратическое отклонение sx. Наряду с дисперсией важнейшей
характеристикой варьирования является среднее квадратическое отклонение -
