Биометрия - Лакин Г.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
геометрической в качестве приближенной характеристики темпов динамики
нередко используют среднюю арифметическую. При этом приходится учитывать
и то, что средняя геометрическая дает хорошие (не искаженные) результаты
лишь при наличии геометрической прогрессии, заложенной в самой динамике
явления. Это обстоятельство несколько ограничивает область применения
средней геометрической, которую вычисляют обычно в прогностических целях
и при определении средних прибавок массы или размеров тела, возрастных
изменений численного состава популяций за определенные (обычно равные)
промежутки времени.
В заключение обзора степенных средних необходимо отметить, что между
ними существуют определенные соотношения,
44
выражаемые следующим рядом мажорантности (неравенства):
XQ>Xq>X>Xg>Xh.
11.2. ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ
Средние величины не являются универсальными характеристиками
варьирующих объектов. При одинаковых средних признаки могут отличаться по
величине и характеру варьирования. Поэтому наряду со средними для
характеристики варьирующих признаков используют и показатели вариации.
Одним из таких показателей являются лимиты (от лат. limes - предел),
обозначаемые символом Пш. В биометрии под этим термином понимают значения
минимальной xmin и максимальной хт*х вариант совокупности.
Размах вариации R. Это показатель, представляющий собой разность
между максимальной и минимальной вариантами совокупности, т. е. R-xmах-
Xmin. Чем сильнее варьирует признак, тем больше размах вариации, и,
наоборот, чем слабее вариация признака, тем меньше будет размах вариации.
Лимиты и размах вариации - простые и наглядные характеристики
варьирования, однако им присущи существенные недостатки: при повторных
измерениях одного и того же группового объекта они могут значительно
изменяться; кроме того, они не отражают существенные черты варьирования,
что можно показать на следующем примере.
Возьмем два ряда распределения с одним и тем же весом входящих в их
состав вариант, равным единице:
Х\ 10 15 20 25 30 35 40 45 50 *i>=30
хг 10 28 28 30 30 30 32 32 50 г2=30
По числу вариант (п=9), лимитам и размаху вариации эти
ряды не отличаются друг от друга; их средние также равны
между собой. Отличает их друг от друга характер варьирования, но эта
особенность никак не отражается на лимитах и размахе вариации.
Более удобной характеристикой вариации мог бы служить показатель,
который строится на основании отклонений вариант от их средней, т. е.
\xi-x\-d. Сумма таких отклонений, взятая без учета знаков и отнесенная к
числу наблюдений п, называется средним линейным отклонением
х'~.*-1-. Так,
если взять суммы отклонений вариант от их средней (х=30) для первого xi и
второго х2 приведенных здесь рядов, то получаются следующие результаты:
<Л-20 15 10 5 0 5 10 15 20 2d,-100
<*2-20 22000 22 20 2d2*-48
45
Отсюда di=100/9= 11,1 и Я2=48/9=5,3. Таким образом, в первом случае
варьирование сильнее, чем во втором.
Дисперсия и ее свойства s2, а2. Несмотря на явное преимущество
среднего линейного отклонения перед лимитами и размахом вариации, этот
показатель не получил широкого применения в биометрии. Наиболее
подходящим оказался показатель, построенный не на отклонениях вариант от
их средних, а на квадратах этих отклонений, его называют дисперсией (от
лат. dispersio - рассеяние1) и выражают формулами
* - * _
2 (•*/ - х)2 2 /г С*г - х)2
? = 1----------- или 4=-i--------------------------, (13)
п п
к
где ^ - знак суммирования произведений отклонений вариант Xi от их
средней х на веса или частоты ft этих отклонений в пределах от первого до
k-vo класса; п - общее число наблюдений. Индекс х у символа дисперсии
обозначает, что этот показатель характеризует варьирование числовых
значений признака вокруг их средней величины.
Ценность дисперсии заключается в том, что, являясь мерой варьирования
числовых значений признака вокруг их средней арифметической, она измеряет
и внутреннюю изменчивость значений признака, зависящую от разностей между
наблюдениями. Преимущество дисперсии перед другими показателями вариации
состоит также и в том, что она разлагается на составные компоненты,
позволяя тем самым оценивать влияние различных факторов на величину
учитываемого признака.
Вместе с тем установлено, что рассчитываемая по формуле (13)
дисперсия оказывается смещенной по отношению к своему генеральному
параметру на величину, равную п/(п-1). Чтобы получить несмещенную
дисперсию, нужно в формулу (13) ввести в качестве множителя поправку на
смещенность, называемую поправкой Бесселя. В результате формула (13)
преобразу-
1 Р. Фишер назвал эту характеристику "вариаисой" (от аигл.
