Биометрия - Лакин Г.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
переменной Y. При наличии линейной зависимости между переменными X и Y
(т. е. линейного тренда) для выравнивания ряда динамики способом
наименьших квадратов наиболее подходящим является уравнение регрессии в
виде отклонений чле-
268
10В ряда зависимой переменной У от средней арифметической ; ряда
независимой переменной X [см. формулу (188)].
Пример 7. Наблюдения над физическим развитием макак-)езусов в первый
год их жизни показали, что масса тела малы-лей увеличивается с возрастом
по закону линейной функции. } этом легко убедиться, если результаты
наблюдений над развитием макак-резусов изобразить в виде линейного
графика в •истеме прямоугольных координат.
Соответствующие данные приведены в табл. 117.
Таблица 117
Возраст х{, Масса (*j--- х) У(х{---х) ~Ух
мес тела yv кг
1 0,53 -5,5 -2,915 30,25 0,59
2 0,71 -4,5 ---3,195 20,25 0,70
3 0,79 -3,5 -2,765 12,25 0,81
4 0,98 -2,5 ---2,450 6,25 0,92
5 1,06 -1,5 -1,590 2,25 1,03
6 1,13 -0,5 -0,565 0,25 1,14
7 1,25 +0,5 +0,625 0,25 1,26
8 '1,43 + 1,5 +2,145 2,25 1,37
9 1,51 +2,5 +3,775 6,25 1,45
10 1,59 +3,5 +5,565 12,25 1,59
11 1,65 +4,5 +7,425 20,25 1,70
12 1,77 +5,5 +9,735 30,25 1,81
м 14,40 --- 15,790 143,00 14,40
II
ОО
Определяем среднюю арифметическую ряда независимой пе-¦еменной:
?=78/12=6,5. Эту величину можно получить и по юлусумме крайних значений
ряда: *=(1 + 112)/2=6,5. Откло-!ения от этой величины членов ряда
зависимой переменной (с •четом знаков) помещены в третьей графе табл.
117. Остальные действия понятны из этой таблицы.
Подставляя известные величины в формулы (189) и (190), определяем
параметры линейной регрессии: а-14,40/12= 1,20 s 6=15,790/143,00=0,1104.
Отсюда эмпирическое уравнение лассы тела У по возрасту X детенышей макак-
резусов
у у = 1,20 + 0,1104(л:г - х).
Тодставляя вместо (Х{-х) их значения, находим ожидаемые выравнивающие)
значения зависимой переменной У:
^ = 1,20 + 0,1104 (-5,5) = 1,20 -0,61=0,59;
?,= 1,20+0,1104 (-4,5)== 1,20 - 0,50=0,70 и т. д.
269
Рассчитанные таким образом значения ух приведены в последнем столбце
табл. 117. Видно, что они хорошо согласуются г эмпирически найденными
значениями этого ряда.
Таблица IV
Временные Процент у(х {---х) Ух
точки отличных
годы *,¦
1962 1 22 ---4 -88 16 20,9
1963 2 28 -3 ---84 9 22,8
1964 3 16 ---2 ---32 4 24,7
1965 4 28 ---1 -28 1 26,6
1966 5 34 0 0 0 28,4
1967 6 22 + 1 +22 1 30,3
1968 7 30 +2 +60 4 32,2
1969 8 41 +3 + 123 9 34,1
1970 9 35 +4 + 140 16 36,0
Сумма 45 256 --- 113 60 256,0
Пример 8. На протяжении 9-летнего периода обучения процент отличных
оценок, получаемых студентами на экзаменаци онных сессиях по курсу
дарвинизма, колебался следующим образом (табл. 118).
В данном случае среднюю арифметическую дл? независимой переменной оь
ределяем по временнйм тоь кам, обозначенным числами натурального ряда:
*=(1 + +9)/2=5. Затем, как и е предыдущем примере, береь. отклонения
членов ряда з* висимой переменной Y о" этой величины (тоже с уче том
знаков!) и производил операции, показанные е табл. 118. Подставляя наь
денные значения в формуль-(189) и (190), определяел параметры линейной
регрессии: а-256/9=28,44; Ь -113/60== 1,883. Отсюда эмпирическоь
уравнение ряда динамики отличных оценок знаний студентов по курсу
дарвинизма за десятилетний период оказывается следующим:
y*=28,44+l,883(*i-х)
Рис. 29. Эмпирическая и вычисленная линии регрессии отличных оценок
учащихся за девятилетиий срок обучения
270
Рассчитанные по этому уравнению значения ух зависимой переменной
помещены в последнем столбце табл. 118. Они неплохо согласуются с
эмпирическими членами этого ряда. Более наглядное представление об этом
дает рис. 29, на котором изображены эмпирическая (ломаная) и вычисленная
(плавно идущая) линии регрессии этого ряда.
Числовые характеристики рядов динамики. К числу основных обобщающих
числовых характеристик рядов динамики относят среднюю геометрическую xs и
близкую к ней среднюю арифметическую х величины, о которых речь шла в гл.
II. Они характеризуют среднюю скорость, с какой изменяется величина
зависимой переменной за определенные периоды времени. Так, судя по данным
