Радиационная биофизика (ионизирующие излучения) - Кудряшов Ю.Б.
ISBN 5-9221-0388-1
Скачать (прямая ссылка):
1=1
где /? = Gj(HK) — константа.
Зрелые клетки крови некоторых линий, а в ряде случаев и их костномозговые предшественники являются радиорезистентными. Для таких клеток члены Q-Dl/Di)Xi в правых частях соответствующих уравнений опускались, концентрации Хп{ и ХТПг в уравнении (Ш.25) приравнивались нулю, а уравнения (Ш.22) и (Ш.23) не рассматривались. В частности, в моделях тромбоцитопоэза, лимфопоэза и эрит-ропоэза m = 3 и n = 1, 3, 2, а в модели гранулоцитопоэза m = 4 и п = 4.
При D' — 0 уравнения (Ш.18)-(Ш.21) описывают динамику отдельных линий кроветворения у необлученных млекопитающих. При этом модель сводится к уравнениям (Ш.18)-(Ш-20) или (111.18)— (Ш.21). Эти системы имеют две особые точки*)* Первая — нулевая. Координаты второй положительны, если а > 7. Исследования моделей показали, что тривиальная Особая точка устойчива («узел» **))
*) Особая точка — точка кривой или поверхности (на фазовом портрете фазовой плоскости), в которой нарушается ее гладкость.
**) Узел — тип особой точки дифференциального уравнения; вид интегральных кривых около особой точки типа узел на фазовом портрете напоминает семейство парабол, проходящих через эту точку и касающихся одной прямой в данной точке.
118 Гл. III. Зависимость биологического эффекта от поглощенной дозы
при а < 7 и неустойчива («седло» *)) при а > 7. Вторая особая точка с положительными координатами определенной области изменения параметров устойчива («узел», «фокус»). В этом случае величины Xi можно отождествить со стационарными концентрациями клеток Xi соответствующего ростка кроветворения в норме. При отклонениях от этого положения равновесия восстановительный процесс имеет апериодический или колебательный характер. Для моделей тромбоцитопоэза, лимфопоэза, эритропоэза и модифицированной модели гранулоцитопоэза, сведенной к трем уравнениям для концентрации гранулоцитов вне костного мозга и их способных и неспособных к делению костномозговых предшественников, были определены бифуркационные соотношения, которые задают в пространстве параметров условия потери устойчивости второй особой точки. В найденной области изменения параметров данные системы помимо двух неустойчивых особых точек имеют еще одно особое решение — устойчивый предельный цикл (устойчивые колебания концентраций клеток крови и их предшественников в костном мозге).
В рамках разработанных моделей имитировалась динамика гемо-поэза у мелких лабораторных животных (мышей, крыс), подвергшихся острому и хроническому облучению. Значения большинства коэффициентов определялись на основе данных гематологических и биологических экспериментов. Величины параметров, которые невозможно измерить опытным путем, подбирались методом итераций в ходе численных экспериментов с моделями на компьютере. Пример результата моделирования представлен на рис. ШЛО.
Рис. III. 10. Динамика концентрации тромбоцитов в крови необлучевных крыс, у которых она была искусственно увеличена до 180% (о) и снижена до 10% (л) от первоначального уровня. Модельные кривые и соответствующие экспериментальные данные. По оси абсцисс - время в сутках, по оси ординат — концентрация
тромбоцитов.
*) Седло — тип особой точки дифференциального уравнения, в окрестности которой интегральные кривые напоминают деформированное семейство гипербол с общими асимптотами, проходящими через данную точку на фазовом портрете.
2. Математическое моделирование радиобиологических эффектов 119
Сопоставление расчетных и опытных данных показывает удовлетворительное, на наш взгляд, качество воспроизведения моделями основных процессов кроветворения в условиях облучения. Модели позволили достаточно детально исследовать процессы поражения и восстановления пулов клеток и дали возможность описать вклад поврежденных радиацией клеток в кейлонную регуляцию кроветворения. Слабым местом приведенных моделей является их жесткая детерминированность, в них не учитывается стохастичность изучаемых процессов.
2.5.2. Клеточные модели, применяемые в радиотерапии
Поскольку в ответ на облучение в клетках, органах и тканях живых объектов развивается цепь весьма сложных, во многих деталях не исследованных процессов, модели в радиотерапии носят в основном феноменологический характер. Их главной задачей является оптимизация радиотерапевтической процедуры, т. е. определение наиболее эффективного распределения доз в пространстве и времени. Математические модели, которые применяются в лучевой терапии, отличаются широким разнообразием.
Математические модели лучевых изменений во времени
Рассмотрим в качестве примера один из возможных вариантов подхода к решению задачи изучения и оптимизации кинетики постлу-чевых изменений. При рассмотрении данной проблемы на клеточном уровне Балантер и др. (1980) выделяют процессы, сопровождающиеся изменением численности клеток с характерным временем не менее суток и более краткосрочные процессы изменения состояния клеток, называемых авторами процессами быстрой кинетики. Соответственно и модели, отображающие эти две группы процессов, значительно отличаются. К моделям, рассматривающим процессы первой группы, можно отнести, например, модель глобальной (многошаговой) оптимизации временнбго режима радиотерапии, предложенной В. К. Ивановым и А. М. Петровским (1986), с помощью которой исследуется результирующая выживаемость раковых и нормальных клеток.
