Биомагнитные измерения - Кнеппо П.
ISBN 5-283-00557-7
Скачать (прямая ссылка):
из последнего уравнения величину <?,•; после упрощений получим
V V У I Ъ2 U Ъ2и Э2 и \
(а. + а ) Д<4 = -а. -- + -------------- +------------ . (3.317)
е е \ Эх2 Ъу2 bz2 )
Сопоставление этого уравнения с (3.96) показывает, что его правая часть,
взятая с обратным знаком, играет роль плотности источников тока по
отношению к внеклеточному электрическому полю, существующему в однородной
изотропной среде с удельной электрической проводи-
V V
мостью о{ + ае. Если изучается только электрическое поле, то в качестве
векторного поля эквивалентного генератора в принципе можно рассматривать
любое векторное поле, дивергенция которого равна правой части уравнения
(3.317). В частности, удобно определить генератор как векторное ноле
J* = -а(. gradt/. _ (3.318)
В соответствии с вышесказанным этот генератор создает в однородной среде
с удельной электрической проводимостью а,- + ае такое же электрическое
поле, как и действительный биоэлектрический генератор во внеклеточной
среде для рассмотренной модели с однородными свойствами во всем
пространстве. Согласно (3.109) его потенциал выражается
247
Обоснованность такого эквивалентного генератора по отношению к магнитному
полю зависит от того, насколько форма эквивалентных сторонних токов
соответствует принятой зависимости (3.318)*
Примем дополнительное допущение о ''локальной одномерности"
электромагнитного поля, т.е. рассмотрим такие процессы возбуждения, для
которых поверхности постоянных значений трансмембранного потенциала имеют
не очень большую кривизну [44]. При этом плотности тока во
внутриклеточной и внеклеточной средах равны по абсолютной величине и
противоположны по направлению, и из (3.313) и (3.314)
J( = -о. grad = ае grad^. (3.320)
С учетом (3.280) получаем
V V
v ai °е
J, = - Т~Чг grad У- (3.321)
°i + °е
Поскольку внутриклеточная и внеклеточная среды совмещены в пространстве,
последняя величина играет роль плотности стороннего тока для внеклеточной
среды, а эквивалентная плотность стороннего тока в среде с удельной
электрической проводимостью о,- + ае может быть получена путем умножения
последнего выражения на (о,- + ае)/ае. В результате приходим к
сформулированному ранее эквивалентному генератору (3.318), а выражение
для магнитной индукции получим подстановкой уравнения \3.318; в (3.107):
МоП,- / 1 \
B(r) = - -jjj- J grad(/xgradro | - j dV. (3.322)
По-видимому, формулировка эквивалентного генератора, адекватно
описывающего как электрическую, так и магнитную составляющую
электромагнитного поля макроскопических участков синцитиальной ткани,
должна учитывать реальную форму распределения фаз возбуждения в ткани и
пассивные свойства ткани, в том числе ее макроскопическую анизотропию.
Сформули^кшанный простейший вариант объемно распределенного
континуального эквивалентного генератора позволяет легко перейти к
поверхностно распределенному эквивалентному генератору, который играет
важную роль при изучении электрической активности миокарда 248
[4]. Применим к функциям U и 1 /Я следующее уравнение теоремы Грина [50]:
l/Л |^| + grad U • grad | -
dV= # C/gradf - J-dS, (3.323)
где S - замкнутая поверхность, ограничивающая область V; положительной
считается внешняя нормаль к этой поверхности, а точка наблюдения
находится вне поверхности. Учитывая, что Д(1 /Л) =0, и подставляя это
уравнение в (3.3 IV), получаем
^(г) = - ----г ------ * и&1яйг0 ( \ )'dS- (3.324)
4я(а;. + ае) S \к I
Таким образом, если поверхность S охватывает всю область, в которой могут
существовать пространственные изменения трансмембранного потенциала, то
для вычисления электрического поля вне этой поверхности можно
использовать поверхностно распределенный генератор в виде токового
двойного слоя на поверхности S с мощностью Ds = - о,- U, пропорциональной
трансмембранному потенциалу на этой поверхности.
На основе "модели двух совмещенных пространств" были получены выражения
для электрического потенциала и магнитной индукции цилиндрического пучка
волокон миокарда, погруженного в однородный неограниченной проводник
[1ь9]. Эти выражения аналогичны уравнениям (3.292), (3.z93j и (3.297),
однако содержат дополнительные параметры, характеризующие структуру
ткани.
3.4. Математическое описание электромагнитного поля на уровне целых
органов
Идентификация электрического состояния органа с помощью эквивалентных
генераторов дипольного типа. Основные исследовательские и практические
задачи биомагнитометрии направлены на идентификацию, или определение,
состояния изучаемых биологических объектов. Здесь имеется в виду
электрическое состояние, т.е. характеристики электрических процессов,
происходящих в возбудимых тканях и органах, хотя конечной целью чаще
всего бывает оценка анатомического и функционального их состояния. При
решении таких задач диагностического типа, и особенно в случаях, когда
объекты исследуются в естественных условиях, область измерения находится
на определенном удалении от области биоэлектрического генератора, и
