Биомагнитные измерения - Кнеппо П.
ISBN 5-283-00557-7
Скачать (прямая ссылка):
подход [23, 24 и др.]. В качестве исходной величины, характеризующей
свойства поля, вводят так называемый 4-потенциал, компонентами которого
являются скалярный потенциал <р и три компоненты векторного потенциала А,
и рассматривают взаимодействие малой заряженной частицы с
электромагнитным полем в континуальном четырехмерном релятивистском
пространстве. В результате получается система уравнений Лоренца-Максвелла
для ''микроскопических" условий, применимая к электромагнитному полю в
пустоте с находящимися в нем точечными зарядами. Затем осуществляется
осреднение величин, входящих в эти уравнения, по физически бесконечно
малым объемам пространства с учетом основных процессов, происходящих в
среде под воздействием электромагнитного поля: переноса заряженных частиц
(электрического тока), смещения заряженных частиц разных знаков, входящих
в электрически нейтральный микроскопический элемент структуры среды
(электрическая поляризация среды) и поворота магнитных дипольных моментов
частиц среды (магнитная поляризация среды). В результате получается
система уравнений (3.1) - (3.8).
Решение уравнений Максвелла для однородной среды и гармонических полей.
Допустим, что электромагнитное поле существует в однородной (и
изотропной) среде, и получим отдельные уравнения для векторов Е и Н.
Чтобы вывести уравнение для Е, нужно выразить величины В, Dh J в (3.1) и
(3.2) через Ей Не помощью (3.5) - (3.7), продифференцировать (3.2) по
времени, подставить в него (3.1) и преобразовать, используя соотношение
векторного анализа
rot rot Е = grad div Е - ДЕ, (3.43)
155
где А = ---------+----- + - оператор Лапласа, и уравнение (3.3).
Эх2 ду2 9z2 В результате получаем уравнение для вектора Е:
Ы*
Эг
(3.44)
Аналогичным образом, однако дифференцируя по времени (3.1) и подставляя в
него (3.2), получим уравнение для вектора Н:
Уравнения (3.44) и (3.45) - это дифференциальные уравнения в частных
производных гиперболического типа, описывающие электромагнитное поле,
которое возбуждается свободными зарядами и сторонними токами
(определяющими правые части уравнений) и распространяется с затуханием в
однородной среде общего вида.
Во многих случаях для облегчения анализа электромагнитного поля
целесообразно вместо дифференциальных уравнений для векторов Е и Н
рассматривать дифференциальные уравнения для вышеприведенных потенциалов
А и <р. Подставим в (3.2) уравнения (3.5), (3.7), (3.40) и (3.41) и
преобразуем результат с учетом некоторых известных соотношений векторного
анализа и калибровочного соотношения (3.42). В итоге получим следующее
уравнение для векторного потенциала А:
Взяв дивергенцию от (3.39) и преобразовав результат с использованием
(3.3), (3.5) и (3.42), получим следующее уравнение для скалярного
потенциала у:
Два последних уравнения совпадают по форме левой части с (3.44) и (3.45),
однако имеют иные правые части - пропорциональные заряду и стороннему
току, а не их производным. Для рассматриваемого изменяющегося
электромагнитного поля общего вида между (3.46) и (3.47), как и между
(3.44) и (3.45), имеется связь, обусловленная уравнением непрерывности
электрического тока (3.29).
Роль основного независимого внешнего воздействия обычно играют сторонние
токи, совокупность которых мы будем иногда называть просто генератором.
Задать независимо также и заряды в общем слу-
(3.45)
(3.46)
(3.47)
156
чае нельзя, поскольку заряды связаны с током уравнением непрерывности
(3.29), хотя эта зависимость отсутствует для стационарного поля. Часто
встречаются задачи, в которых требуется определить электромагнитное поле
(его векторы Е и Н) по заданным характеристикам некоторого независимого
процесса, который влияет на поле через посредство стороннего тока с
плотностью J* (такие задачи относятся к классу прямых электродинамических
задач). Возможный путь нахождения решения в этом случае - определение
векторного потенциала из (3.46), затем - скалярного потенциала из (3.42)
и, наконец, напряженностей поля из (3.40) и (3.41).
Для некоторых конкретных типов среды полученные уравнения для
напряженностей и потенциалов упрощаются. Например, для диэлектрика (а =
0) уравнения (3.44) - (3.47) принимают соответственно следующий вид:
ДБ-^"7= - gradq + na (3.48)
а г2 е<7 Эг
ДН ~ €а Ра " =- rot J* (3.49)
dt2
АА-еаМа ^ =-MaJ*> (3-50)
А<>-еаца-(3.51)
dt ea
а калибровочное соотношение сводится к условию Лоренца:
divA+ еаца = 0. (3.52)
ot
Выражения (3.48) - (3.51) имеют вид неоднородного волнового уравнения,
или уравнения Даламбера. Если правая часть такого уравнения равна нулю,
то его часто называют просто волновым.
При решении многих теоретических и практических задач электродинамики
рассматривают электромагнитные поля, характеристики которых изменяются во
времени гармонически, причем компоненты всех векторных величин по
пространственным осям являются синусоидальными функциями времени. Эти
периодические во времени поля можно назвать стационарными в том смысле,
