Основы автоматики и системы автоматического управления. Лабораторный практикум - Барышев Г.А.
ISBN 5-8265-0234-7
Скачать (прямая ссылка):
переключения для ЗОУ (/гр) и ЗОУ(/к) равны
tn1 = t0 + At61, tnj = tnj-\ + At6j , j = 2, к - ^ (1.16)
рассчитанные по формулам (1.16) значения tn могут использоваться и для
ЗОУ (/^, tl) при выполнении условия
С-1 e К , /в ]. (1.17)
2) Если для кэ стадий функционал с увеличением времени возрастает, а
для кэ стадий имеет экстремальный характер (кв + кэ = к), то для ЗОУ (/к)
моменты переключения стадий с возрастанием определяется по формулам
(1.16), а для стадий с экстремумами при времени /п]-1 +Atm
tn = tn- + Atm , (1.18)
формулы (1.16), (1.18) могут использоваться для ЗОУ (/гр) при выполнении
условий
С-1 + ^6к ^ /гр , (П9а)
если к-ая стадия с возрастанием,
или /п, к-1 + Atm ^ /гр , (1.196)
если к-ая стадия с экстремумом;
для ЗОУ (t^, t,l) условия, аналогичные (1.19а), (1.196), соответственно
имеют вид (1.17) или
С-1 + Atm e К , tl ]. (1.20)
Данное утверждение нетрудно доказать от противного.
Применение комбинированного метода позволяет значительно сократить объем
вычислений по сравнению с обычной схемой динамического программирования.
В предположении одинакового числа шагов сетки m по времени и фазовым
координатам количество решений задач уменьшается в m((k - 2)mn + 2) /((к
- 2)mn-1 + 2) и m2 раз.
Как уже отмечалось, для реализации комбинированного метода должен быть
выполнен полный анализ оптимального управления на множестве состояний
функционирования, т.е. создана вычислительная среда.
В качестве примера рассмотрим создание вычислительной среды для объекта,
динамика которого на всех стадиях описывается линейными дифференциальными
уравнениями первого порядка.
Обозначим через R, T, L, U множества соответственно значений массива
исходных данных R, задаваемых временных интервалов управления (/к -10),
значений вектора синтезирующих переменных L и функций ОУ и*(t), а через ф
и у - отображения R х T в L и L в U*
Лемма 1. Если для k-стадийной ЗОУПр с исходными данными
R = (Rj, j = i;к, У ^ X R} = (aj, b], zj -i, zj, ин, ив}- X z(to) = zo;
z(t*) = ^,
tR
I э= | и 2(t)dt ^ min
(121)
to
выполнены условия:
а) на монотонность увеличения границ стадий, т. е.
б) наличие временного ресурса
zo < zi < ... < z^i < Zк; (122)
У ч ^ 1 , aizi + Ьгивг "
^=(tK - to)-?-ln-^-г-^ > 0; (1.23)
1=f ai aizi-1 + Ьгивг
в) однозначность отображений
(124)
то оптимальная программа
и*(•) = (и;(t), t e [to,t;]); ...; (ик*(t),t e [tK-b tK])
с (1.25)
z(t;) = Z1, ..., z(tK;-1) = z(tK) = zK
существует и определяется кортежем значений синтезирующих переменных
l* = (L1(At;),..., lk (At;)), ? At; = (tK - to), (1.26)
i=1
в котором оптимальные временные интервалы At; определены методом
динамического программирования, при этом виды функций U*(t) и их
параметры рассчитываются по значениям Li (At*) методом синтезирующих
переменных.
Доказательство. Существование решения задачи (1.21) определяется
выполнением условия (1.23), в котором сумма представляет собой
минимальное время, необходимое для перевода объекта из состояния z0 в zK.
Для этого решается задача максимального быстродействия применительно к
каждой стадии. Действительно, для первой стадии из условий
ш
z(61 )= z0e"l ( -0 ] + j eai{'61 - )Ь1Uв1dt, z(t61) = z1
г0
получаем
t61 -10 - - In a1Z1 + Ь^в1 . (1.27)
a1 a1 z0 + Ь1ив1
Аналогично для второй стадии
t t - 1 1n a2Z2 + Ь2ив2
tan - t*i - Ш-
62 a61 ,
a2 a2 Z1 + Ь2ив2
и т. д.
СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ЕСЛИ ВЫПОЛНЯЕТСЯ УСЛОВИЕ (4.3), Т.Е.
к
(гк -10) - У Дбу > 0 д?6/ - ^у - ^бу-1,
j-1
то решение задачи существует.
Для нахождения программы и (°) требуется одновременно решать две
связанные между собой задачи: 1) оптимально распределить между стадиями
временной ресурс т, т.е. рассчитать моменты переключения t*, j - 1, к -
1; 2) найти функции оптимального управления для частных ЗОУ u* (t), j -
1, к, т.е. определить их виды и параметры.
Функционал 1э в задаче (1.21) можно представить суммой частных затрат
энергии на отдельных стадиях, т.е.
^1+Т1 ^2 +Т1+Т2 tK
1 э - j u12(t )dt + j u2(t)dt +-----------+ j uK(t )dt - (1
28)
t0 ^1 +T1 ^б к +т-т к
- 11(Дг1б1 + Tb +12(Дб2 + т2 , R2) + ••• + 1 к (Дбк +тк , R ^
здесь
Ут / - т, т/ > 0, j - 1,к.
j-1
В соответствии с (4.4) значение u* (t) определяется вектором Lj (Дt6/¦ +т
j) или, для сокращения записи, Lj (т j). В этом случае
/э -11 (L1 (Т1))+12(L2(T2))+...+1к (Lk (тк)). (1.28а)
Для функционала (4.8а) можно записать функциональное уравнение
динамического программирования
/м (т) - min [/N (Ln (Tn )) + /ы-1(т - ты)], N - 2,3,..., к, 0е [0; т],
(1.29)
Tn е[0,т]
/1(0) - /1 (L1 (0)),
здесь fN (т) - минимум затрат энергии при оптимальном распределении т по
N - стадиям, IN - затраты энергии на N-ой стадии.
В целях сохранения обычной вычислительной схемы динамического
программирования в (1.28), когда N = 1, то f1, I1, L1 соответствуют к-ой
стадии ЗОУ (1.21) и т.д.
Чтобы показать, что полученный с помощью процедуры (1.29) вектор
(А"), L2(t2),...,Lk(тк)) (1.30)
определяет ОУ (4.5) и соответственно минимум затрат I* на перевод объекта
