Классификационные построения в экологии и систематике - Андреев В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Под множеством М, согласно Кантору (см. [40]), понимается любое объединение в одно целое определенных, вполне различимых! объектов из нашего восприятия или мысли. Объекты х, которые| называются элементами М,— это любые предметы или явления реального мира (или мысленные конструкции). Понятия «мно-1 жество» и «элемент множества» нельзя определить более строго,! так как нет более элементарных понятий, посредством которых! они могли бы быть определены.
Примеры: множество видов, обитающих на какой-либо терри-1 тории, множество индивидуумов, составляющих выборку, мно-1 жество географических пунктов, в которых учитывались виды,| множество измеряемых признаков и т. п.
Для того чтобы указать, что х есть элемент множества М, ис-| пользуется запись: х GE М, при этом обычно названия множеств! обозначают прописи >ши буквами, а их элементы — строчными.] Запись хф.М читается: «элемент х не принадлежит множеству М».|
Множества, состоящие из конечного числа элементов, называ-| ются конечными. Если число элементов бесконечно, то множества] назыв-аются бесконечнь ми, а если количество элементов равно I нулю, то множество на ывается пустым. Пустое множество обо-] значается ф (перечеркнутый кружок).
Для того чтобы показа гь, что ряд объектов образует множество, ] обозначения этих объектов заключаются в фигурные скобки.' Например,
М = {х, у, z) (2.1)
означает, что множество М состоит из объектов х, у, z. Полезно отметить, что {а, Ь, с} = {а, б, а, а, с, б, с}, т. е. одинаковые элементы множества в общем случае считаются за один.
Задать некоторое множество можно двумя способами: во-первых, указать полный перечень объектов, принадлежащих этому множеству, например, как в (2.1); во-вторых, указать формальное правило для определения того, принадлежит пли не принадлежит какой-либо объект х множеству М. Запись
/ = {/ |;' — целое число» 1 ^ / < п) (2-2)
читается: «множество J есть множество всех тех и только тех элементов /, которые являются целыми числами, изменяющимися в пределах от 1 до пь. Здесь описание множества в фигурных скобках разбивается на две части вертикальной чертой, слева от которой обозначаются все элементы множества (все те и только те у), а справа дается характеристика, или условие, которое всегда истинно для элементов из левой части (которые являются...).
Количественной характеристикой (мерой) конечного множества А является число его элементов, которое обозначается тп (Л). Теория конечных множеств изучает правила, по которым, зная количество элементов некоторых множеств, можно вычислить количество элементов некоторых других множеств, составленных из первых с помощью определенных операций.
Одной из такнх операций является операция «сложения»:
(читается: С есть объединение множеств А и В). Результат ее — сумма, или объединение, множеств Л и Б — это множество С, состоящее из тех и только тех элементов, которые входят либо в А, либо в В (т. е. входят хотя бы в одно из множеств А или В). Например, пусть даны множества А = (щука, окунь, плотва), В — {лещ, окунь, язь. плотва), тогда С — A (J В = {щука, окунь, плотва, лещ, язь}. Иными словам, при объединении множеств общие элементы считаются по одному разу. Нетрудно заметить, что «сложение» множеств отличается от сложения в обычной алгебре. В частности, A U А = А или в более общем случае
Однако коммутативный и ассоциативный законы сохраняются, как и в алгебре:
A\JB='B\JA, Л U (В U С) = (A U В) U С. (2.5)
Пересечением множеств А и В называется множество С, в которое входят те и только те элементы, которые входят одновременно в А а В:
(читается: С есть пересечение множеств А я В). Например,
Пересечение множеств А и В из предыдущего примера:
А П В = {окунь, плотва}.
Пересечение множеств отвечает коммутативному и ассоциативному
А П В = В П А, А П {В П С) = {А П В) П с, (2.6:
С = A U В
(2.3)
A{JA\j...\ja = a.
(2.4)
{1, 2, 3} П {2, 3, 4} = {2, 3}.
законам
а также дистрибутивному закону
А Г)А=А, АГ)АП---Г)А = А.
(2.7
Разностью множеств А и В называется множество С = А\В,
состоящее из тех и только тех элементов А, которые не входят в В. Например,
{щука, окунь, плотва} \ {лещ, окунь, язь, плотва} = {щука}, i Разность множеств отвечает коммутативному и ассоциативному законам. Множество элементов А, которое не входит в множество В, будем обозначать В.
Если А и В — множества, то говорят, что А содержится в В, и пишут
A CZ В (или BZ) А) (2.8)
в том и только в том случае, если каждый элемент А является элементом В. В этом случае А называется подмножеством, а В — над-
множеством. Множества А и В равны, если одновременно А а В, и В С А.
Пустое множество играет роль нуля в операциях над множествами
A U А, А Г) Ф = Ф, А\ф = А. (2.9)
Семейством множеств называется множество, элементы которого сами являются множествами. Для обозначения семейства множеств используются обычно рукописные буквы, например,
