Классификационные построения в экологии и систематике - Андреев В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
«если / (a, b)-f (b, с), то / (а, с)».
(2.22)
/ (а, Ь)./ (Ь, с) ->/ (а, с).
(2.23)
(2.24),
являются ТИ-высказываниями.
Теперь приведем основные правила алгебры высказываний, которые позволяют решать практические задачи.
1. А + В = ВА. 4. А-В = В-А.
2. А + (В + С) = (А + В) + С. 5. А-(В-С) = (А-В)-С.
3. (А + В)-С = А-С + В-С. 6. 2 = А.
Здесь эквивалентности 1—4 выражают коммутативный и ассоциативный законы, эквивалентность 5 — дистрибутивный закон, а 6 называется законом двойного отрицания. Все эти правила аналогичны правилам обычной алгебры. Аналогия в последнем случае: —(—а) = а.
7. А + А = А.
8. Л-Л = А.
Правило 7 читается: «либо Л, либо А есть то же самое, что А» (вспомните: «что в лоб, что по лбу»). Правило вчитается: «одновременно А и А есть то же самое, что Л» (т. е. один и тот же объект не может считаться двойным). Эти правила обладают свойствами
идемпотентности (от латинского idem — «тот же самый» и potens —
«мощный»).
9. А + 1 = 1. 11. АЛ = А.
•10. А + 0 ь= А. 12. Л-0 = 0.
Поскольку значение истинности дизъюнкции ложно только тогда, когда сразу оба составляющие высказывания ложны, то правило 9 есть ТИ-высказывание: «одно из составляющих всегда истинно». Правило 10 указывает, что значение истинности дизъюнкции в случае, когда одно из составляющих всегда ложно, зависит от второго составляющего: если оно ложно, то и А + 0 ложно, если А истинно, то и Л + 0 истинно.
Для разъяснения правил 11 и 12 напомним, что значение истинности конъюнкции истинно только тогда, когда оба составляющих истинны.
13. А + А = 1.
1.4. А-К = 0.
Правило 13 можно выразить словами: «все есть либо А, либо не Л», правило 14 — «ничто не может быть одновременно Л и не Л».
15. А + В = А-В.
16. ХТв = А + в.
Правило 15 читается: «то, что не есть Л или В, равносильно тому, что это не Л и не В». Например, заключенную в скобки часть фразы: «бывают организмы, нро которые можно сказать, что они (н< являются животными (Л) или растениями (В))», можно заменит!
2i
эквивалентной по смыслу частью: «это и не животные и не растения (А-В)».
Правило 16 читается: «то, что не есть одновременно А и В, равносильно тому, что это либо не А, либо не В». Например, «не бывает крокодилов (Л), обитающих в голой пустыне (В). Это так же верно, как и то, что либо это не крокодилы, либо это не голая пустыня (Л + В)». Первое предложение выражает ту мысль, что крокодилы и голая пустыня несовместны: А - В. ,¦
Эквивалентности 15 и 16 называются законами Де Моргана и примечательны тем, что позволяют переходить от дизъюнкции к конъюнкции и, наоборот, от конъюнкции к дизъюнкции.
17. А В = В А,
т. е. «если А, то В» равносильно тому, что «если не В, то не А». Например, фраза «если животные живут долго (Л), то, значит, ’ они имеют пищу (5)» равносильна высказыванию: «если нет пищи (В), то животные не живут долго (Л)». Эквивалентность 17 называется законом контрапозиции.
18. Л ->¦ В = (I т В = 1),
т. е. «если Л, то В», равносильно высказыванию: «всегда верно, что или не Л, или В». Так, относительно последнего примера (Б —> Л) можно сказать: «Всегда верно, что или животные имеют пищу, или они не живут долго (В Я = В -г Л = 1)».
Правило 18, выражающее переход от импликаций к ТИ-выска-зываниям, играет исключительно важную роль в практических приложениях алгебры логики.
19. Л + Я-В = А - В.
Чтобы убедиться в справедливости эквивалентности 19, произведем операцию отрицания над обеими частями. Согласно законам Де Моргана, а также правилам 14 и 10
Л + Я-В = Л • (Л + В) = Л-Л + Я-В = Я-В,
А + В — Я-В,
т. е. получим очевидное равенство, а из понятия эквивалентности следует, что (Л = В) = (А = В).
20. Л + А-В = А.
Это правило называется законом поглощения, так как добавочный член в выражении «поглощается». Эквивалентность 20 следует из того, что (Л-В ->- Л) = 1. Например, утверждение «если в каком-либо водоеме обитают и щука и окунь, то щука там обитает» всегда истинно.
Несмотря на обилие приведенных формул, при практическом использовании они легко запоминаются и уже после решения двух-трех задач становятся такими же привычными, как действия
в арифметши л.. . лементарной алгебре. Примеры практических задач, решение которых основано на приведенных правилах, можно найти в параграфах 4.2, 4.3.
2.5. Системы. Системы-классификации
Опираясь на введенные понятия, определим систему как непустое множество объектов (или несколько таких множеств), между которыми установлены некоторые отношения [40]. Благодаря последним набор элементов рассматривается как целостное единство, обладающее интегративными свойствами и противостоящее окружению, или среде. В качестве среды может рассматриваться система более высокого порядка (надсистема), в которой исследуемая система является лишь элементом. С другой стороны, элементы исследуемой системы могут рассматриваться как системы более низкого порядка (подсистемы).
