Астрономическая оптика - Мaксутов Д.Д.
Скачать (прямая ссылка):
жайшей сферой для асферической поверхности ВС В; отступление асферической поверхности от ближайшей сферы обозначим через су очевидно, на внешней зоне &л =0.
Отступление ближайшей сферы ВВСВВ от сферы А С А обозначим через Ау; очевидно,
Для внешней зоны (у=Й) мы имеем
Дл=-Я2^ = *Н=-Я1-8^к' <114>.
откуда
дл=4^р"- . - : (115)
Отступление 8° асферической поверхности от ближайшей сферы определяется, очевидно, уравнением
V (116)
Используя выражения (111), (ИЗ) и (115), переписываем уравнение (116) в виде .
Находим первую производную выражения (117), приравниваем ее нулю и, решая уравнение, определяем i/0, при котором Ъ#о проходит через максимум:
j,o_ Я-^f-= 0.707/7. ' (HS)
Подставляя найденное значение у0 в выражение (117), определяем величину Ъ°т^'
Сличая выражения (119) и (И 2), делаем следующий важный вывод:
(120)
Так мы доказали очень важную теорему, справедливую, как оказывается, для всех асферических поверхностей второго порядка. Поверхность второго порядка имеет наибольшее- отклонение §^ах от ближайшей сферы на зоне у0= Н(V2/2)» причем это отклонение по абсолютной величине в 4 раза меньше Вя — отклонения поверхности на внешней зоне от сферы, касательной при вершине.
175
Решим частную задачу. Допустим, что первая среда — воздух (7^ = 1), а вторая среда — стекло (тг2=1.5). Примем радиус кривизны поверхности к = 100 мм, а внешнюю зону Я = 30 мм.
Тогда
5^ = 300 мм,
Л===г —150 мм-1' &я = —0.045 мм, ДЛ = 1.0 мм, • ,=0.011 мм.
(121)
Поверхность с такой асферичностью хотя и трудно, но все же возможно изготовить, после чего параллельный пучок рис. 63 должен собраться в фокусе Р без сферической аберрации на расстоянии 300 мм от вершины С.
Опишем из точки Р некоторую сферическую поверхность МИМ и ограничим ею массу стекла справа, а поверхностью ВСВ — слева. В результате получится линза ВСВМЫМ, ограниченная выпуклой асферической и вогнутой сферической поверхностями. Эта линза будет иметь фокусное расстояние ~300 мм и окажется свободной от сферической аберрации. При Я—30 мм относительное отверстие А=1 : 5; при этом асферичность первой поверхности близка к И мкм, а радиус кривизны ближайшей сферы 101 мм.
Возвратимся к случаю преломления параллельного пучка поверхностью раздела двух сред, из которых первая среда — воздух (их—1).
Диафрагмируя пучок или применяя асферическую поверхность раздела, мы всегда можем практически освободиться от вредного влияния сферической аберрации и получить безупречное дифракционное изображение точки в фокальной плоскости, расположенной во второй среде с показателем преломления п на расстоянии пВ1(п—1) от вершины поверхности.
Качественно такое дифракционное изображение не будет отличаться от ранее описанного, но количественно оно окажется построенным в п раз меньшем масштабе. Поэтому радиус г дифракционного кружка вместо выражения (9) примет вид
1.2197X5'
г= пВ • (122>
Чтобы определить угловую величину радиуса дифракционного кружка, нужно разделить г на расстояние между фокальной плоскостью и точкой, через которую проектируется изображение в пространство предметов, а такой точкой является центр кривизны поверхности раздела. Расстояние же от центра кривизны до изображения точки равно
5'- Й ^4г- <123)
176
Поэтому угловая величина радиуса дифракционного кружка по-прежнему [см. уравнение (10)] равна
1.2197Х *г= о *
Таким же образом остаются в силе и формулы для предельных углов разрешения, выведенные в 1 части книги. Поэтому-то при исследовании разрешающей силы глаза мы пользовались формулой рзг=1147йР, несмотря на то что последней средой в глазу является жидкость с показателем преломления, отличным от единицы.
Переходим теперь к случаю отражения, пучка от сферической поверхности, рассматривая отражение как частный случай преломления, в котором
л2 = (124)
При таком условии формулы сопряженных расстояний (88) и (89) следует переписать в новом виде:
27+7Г ~ у% д(2ж + Л)« (125)
или
°;^(2р + а) + 1,2(Р + °)2Р. (126)
Для параллельного пучка ($=оо; о=0) находим фокусное расстояние
я у2
*',*т-тя (127)
ИЛИ
4г^2р + Уу. (128)
у
Наконец, для плоского зеркала (Д = оо; р=0) имеем
(я = со)
ИЛИ
(Р=0)
(129)
откуда заключаем, что плоское зеркало не вносит аберраций в отраженный пучок при любых значениях расстояния 5.
Можно и от сферического зеркала отразить широкий пучок без появления сферических аберраций, но для этого нужно выполнить условие (94), т. е. совместить светящуюся точку с центром кривизны зеркала и получить в той же точке ее безаберрационное изображение. Это свойство центра кривизны сферического зеркала используется как при контроле сферических поверхностей, так
42 Д- Д- Максутов
177
и при конструировании некоторых приборов, так как в отличие от случая преломления здесь сходимость пучка изменяет свой знак на обратный: расходящийся гомоцентрический пучок преобразуется в гомоцентрический сходящийся и наоборот.
Выделив вопрос о плоских зеркалах в отдельный параграф, рассмотрим здесь некоторые свойства сферических зеркал.
