Астрономическая оптика - Мaксутов Д.Д.
Скачать (прямая ссылка):
* = -Д
или
а = — р
(95)
(i2 + ii) '
имеет очень важное практическое значение, так как в этом случае преломление происходит без аберрации, а сходимость пучка значительно изменяется.
Действительно, подставляя значение 5 или а в первые члены формул (88) и (89), находим
или
>2 + щ)
п2
(96)
При этом отрезки s' и s находятся в отношении
s' п,
-=--?• (97)
Предположим, что первая среда — воздух (ni=l), а вторая среда — стекло (лг2 = 1.5); тогда отрезки 5 и 5', а вместе с тем и ход безаберрационного пучка можно изобразить на рис. 62, для которого приняты: Л —+ 1 и R— —1.
Исследование показывает, что при соблюдении формулы (95) изображение точки M в точке М' оказывается свободным не только от сферической аберрации, но и от комы; поэтому точки M и М\ удовлетворяющие условиям (95) и (96), называются апланатиче-скими точками. . Если к этим двум точкам присоединить еще центр кривизны поверхности, то у сферической преломляющей поверхности будет всего три апланатические точки, удовлетворяющие условиям (94), (95) и ,(96). Свойства апланатических точек могут быть успешно использованы для некоторых задач астрономической оптики. / • , ; . .
171
Рассмотрим частный случай, когда преломляющая поверхность является плоскостью. Для этого примем Л = 00 или р=0 и, подставив эти значения в формулы (88) и (89), найдем:
»1 у 2п1п2з
(Я=со)
или
(Р=0>
~~а». +у—щ—
(98)
От продольных аберраций совершаем переход к аберрациям поперечным, угловым и волновым, пользуясь выражениями (56), (63) и (64). 4 "
Рис. 62.
» (^2 — пг) пх (р + о)« Г^р + (»2 + пг) о]
и, наконец, волновая аберрация 172
(99)
Так, если продольная аберрация в общем случае преломления на сферической поверхности равйа
л*'___„2 К - *і) »1 (* + Д)а К* + (пг + *і)
^ У [(п. —Лі)*-»*!*]1 .
то поперечная сферическая аберрация
8'0 — у 2л§**Я» [(пг-пх)8-ПіЩ-"
(^2 — "і)ТЧ (р 4- °)2 [»1Р + (П2 + ^) О]
2л| [(па — Лі) р — пхс]
Таким же образом угловая аберрация
<„.-„А (д + Д)» [пх* + (Д, + »д) Д|
2ЙФ =
(100)
(101)
Г (гса - пх) пх (у + Д)а К* + (и, + пх) Щ
НУ^-\ т\у*УЪУ*---
о
А (п2 ^пі)п1(р + о)» [піР + (тга + пх) о]
8«!
(102)
Если продольная сферическая аберрация в первом приближении растет пропорционально квадрату зоны (г/2), то поперечная и угловая аберрации растут пропорционально кубу зоны (г/3), а волновая аберрация — пропорционально четвертой степени зоны (г/4).
Таким же образом определяем поперечные, угловые и волновые аберрации и для рассмотренных ранее двух частных случаев: 1) бесконечно удаленной точки (5=00) и 2) плоской преломляющей поверхности (Н = оо).
От сферической аберрации можно освободиться не только в частном случае использования апланатических точек, но и в общем случае, т. е. при любых значениях сопряженного расстояния Для этого следует некоторым образом деформировать преломляющую поверхность, т. е. применить вместо сферической поверхности раздела поверхность асферическую.
Легко доказать, что при деформировании преломляющей поверхности на величину Ву фронт преломленной волны на том же участке (у) деформируется на величину 1ьу\ при этом асферичность Ьу связана с порожденной ею волновой аберрацией Ау следующей простой зависимостью:
8, = А*1^7- <103>
Поэтому если волновая аберрация на зоне у выражается формулой (102) для общего случая преломления гомоцентрического пучка на сферической поверхности, то для ее компенсации следует осуществить асферичность поверхности, удовлетворяющую следующему условию:
, *А(* + Я)ЧЯ1'+ ("! + »») Я]
-• (Ю4)
Представим формулы от (99) до (104) в общем виде. Для этого предположим, что при некотором сопряженном расстоянии в второе сопряженное расстояние выражается через
+ + (Ю5
где к — известный уже нам коэффициент сложного вида. Тогда поперечная, угловая, волновая аберрации и необходимая для их компенсации асферичность выразятся следующим образом:
173
ку* (107)
*(*о)2 ' (108)
4 (л2 — ni) W)2' . (109)
-Так, если в частном случае светящаяся точка находится в бесконечности (,$=оо), то из формулы (91) определяем
?о — ^0
2п2 (п2 — пх) R
(110)
Желая освободиться а от сферической аберрации и в то же время сохранить сопряженное расстояние мы должны деформировать' поверхность, но изменяя радиуса кривизны Й при ее •вершине, который- по-прежнему должен оставаться Й^=В. Пользуясь выражениями (109) и (110), находим соответственную асферичность -поверхности: -
4Ш)
На схематическимj>m. 63 пунктирная кривая АСА изображает сферическую поверхность раздела с радиусом R и с центром кривизны в О а. Сплошная кривая ВСЕ представляет собою асферическую поверхность с радиусом кривизны при вершине R, преломляющую параллельный пучок без сферической аберрации. Вторая поверхдость отступает от первой на величину 8 выражения (111); поэтому отступление АВ на внешней зоне у—Н равно
—Я4
(112)
Через точки В -и вершину С можно провести сферическую поверхность ВВСВВ (нунктирная линия) с центром кривизны в точке и с радиусом кривизны* #Х^Д4-ДІ?; эта сфера, является 6~д ц-
