Переменные звезды - Гоффмейстер К.
ISBN 5-02-014352-9
Скачать (прямая ссылка):
6.3. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ ОТКРЫТИЙ
6.3.1. Определение вероятности открытий
на основе методов математической статистики
Предположим, что. используя один из методов, описанных в предыдущем разделе, мы исследуем поле звезд с целью обнаружения наибольшего числа не открытых еще переменных. Основываясь на полученном материале, затем можно будет провести статистический анализ числа переменных и их распределения по типам. Наряду с новыми будут найдены, конечно, и уже известные объекты, которые также должны быть зарегистрированы. Это важно, так как иначе нельзя использовать законы теории вероятности для определения количества неоткрытых звезд. Уже со второго сравнения к группе новых и известных переменных добавляется третья группа звезд, найденных вторично, т.е. тех. которые впервые были обнаружены при предыдущих сравнениях. В статистическом анализе они приравниваются к известным переменным.
Понятие вероятности открытия w играет в згой ісории большую роль. Если для обнаружения переменной определенного типа и блеска требуется в среднем я сравнений, то w - 1/и. Это проще всего объяснить на примере звезд типа Алголя. Если на какой-то пластинке звезда имеет свой нормальный максимальный блеск, то вероятность, что на другой пластинке, сравниваемой с первой, звезда будет слабее, показав этим свою переменность, определяется отношением DjP. іде P - период и О - продолжительность ее затмения. Если быть совсем точным, это значение вероятности завышено, так как открытие переменности возможно только тогда, когда разность блеска превысить некоторую величину. Нужно отметить, что любые неожиданные изменения изображения на пластинке и колебания внимания наблюдателя также могу) уменьшить вероятность открытия. Таким образом, результат зависит и от формы кривой блеска; большое значение имеет, насколько круто происходит ослабление блеска и какова его амплитуда. При сравнении любых двух пластинок из серии вероятность обнаружения минимума блеска равна
где второй член учитывает вероятность наблюдения минимума блеска звезды на обеих пластинках, что ведет к уменьшению значения w. Обычно считается, что для звезд типа Алголя значение w лежит в интервале от 0.05 до 0,15. Позднее мы вернемся к разнице между теоретическим и статистическим значением вероятности открытия.
283
Сделаем упрощающее предположение, что в исследуемом попе содер. жится N неоткрытых переменных к асе они имеют одинаковую вероятность открытия w. Это упрощение вполне реалистично, особенно когда мы рассматриваем не все переменные, а какую-то однородную группу, например, подтип а, Ь звезд типа RR Лиры. При таком подходе во многих шаровых скоплениях мы охватим почти все переменные. Согласно теории, во время первого сравнения можно найти Nw переменных, после этого остается N-Nw неоткрытых объектов, и во время второго сравнения мы можем обнаружить только (N- Nw)w переменных. Получаем схему:
первое сравнение А | = Nw = yVw;
второе сравнение A2 = (N-Nw) w = TVw(I — w);
третье сравнение A3 -(N- 2Nw + Nw2) w - Nw(I — 2w + w2) ;
четвертое сравнение At=..........= Nw(\ — 3w + 3и.'2 — w3);
и при п-м сравнении
An=Nw[I -wc?-1 +w2C?-' -w'Cj4-1 +.,. *w»-1CZZl] = = JVw(I -н)""1.
Эту формулу можно преобразовать для вычисления неизвестных Л' и w по найденным из сравнения пластинок значениям А/, где /' = 1, 2, 3, ... Если A1- и A1-' -г два таких значения, где />("', то, разделив одно на другое, получим
Аґ (1 -w)'
В принципе і можно отсчитывать от любого сравнения в ряде, но если за нуль-пункт принять начало ряда, то из уравнения
,4,M1=(I-w)'-1
можно определить w. Полное число неоткрытых переменных /V определяется из уравнения
A1 =jVw.
Это равенство справедливо для начала ряда, но и для других точек ряда можно провести аналогичные вычисления. Сколько переменных можно найти в результате большого числа сравнений? Этот вопрос имеет большое практическое значение. Иначе говоря, сколько времени и сил потребуется для открытия определенной доли неизвестных переменных? Теоретически число вновь открытых звезд за п первых сравнений равно сумме п первых членов ряда
I A1 = N[wC? -w2C1" +w3C3" - .-.Tw4Cl -/V[I-(I-w)"]. і
Если N/ — полное число открытий после / сравнений, то с соответствующим началу ряда значением N0 оно связано соотношением
N0=N/ + /V0[I -.(1 -w)'] =Ni(l -w)-'.
2BA
Хорошо известно, что такой биномиый ряд сходится при и>< 1, что в данном случае всегда выполняется, так как значение w всегда представляет собой правильную дробь. Однако нас интересует скорость сходимости ряда в связи с вопросом, сколько пар пластинок нужно сравнить при определенном значении w для открытия определенной доли г из каждой сотни неоткрытых переменных. В этом случае уравнение
1 - (1 - w)" »7/100
должно быть решено относительно п (Гоффмейстер, 1933) .
В табл. 51 представлена зависимость от w полного числа сравнений, необходимого для обнаружения 70, 80 и 90% переменных из данного поля звезд.
Нужно помнить, что эти значения не реальны, так как переменные данного поля могут иметь все возможные значения w. Данные таблицы приобретают смысл, когда речь идет об ограниченной группе переменных с приблизительно равными значениями вероятности открытия, и позволяют оценить усилия, необходимые для получения определенных результатов.
