Космология ранней Вселенной - Долгов А.Д.
ISBN 5-211-00108-7
Скачать (прямая ссылка):
00
"/(*) = ? a (kn) cos (knx + ф")
n=0
ц a(kn)^kZa, kn - n при n->oo. Фазы q>" - случайные числа, равномерно
заполняющие промежуток (0,2я). Здесь следует подчеркнуть, что фазы должны
быть случайными, как впрочем и то, что kn~ п, а не просто kn=n. В
последнем случае фрактальная кривая может выродиться во всюду гладкую
кривую, за исключением счетного множества точек, в которых у(х) = =оо.
Другими словами, для нас важно, чтобы "сбивалась" не только фаза, но и
частота.
Кривая подобного типа является непрерывной, но не дифференцируемой, если
0<а<1. Для того чтобы ввести понятие анализа на таких кривых, мы должны
определить так называемые гёльдеровские производные вида
Дг/=ц(Дх)".
Пример производных такого типа мы хорошо знаем из статистической физики.
Это производные при броуновском движении, т. е.
д/=у^од>,
у которых показатель Гёльдера а-1/2-
Посмотрим теперь, какова размерность получившейся кривой. По идее
Хаусдорфа дробная размерность определяется следующим образом. Построим
вокруг каждой точки кривой кружок радиусом е->0 и подсчитаем площадь всех
кружков S(e). Причем площадь перекрытия нескольких кружков учитывается
только один раз. Скорость убывания S(e) с убыванием е определяет
размерность. Для гладкой кривой S(e)~eE, где L - длина кривой. Для одной
точки S(e)~e2. Для плоскости S (е) ~ е°.
Определим размерность фрактальной кривой (10.7) аналогичным способом.
Очевидно, характерная амплитуда осцилляций на масштабе е равна а(е-1).
Если а(е-1) убывает медленнее, чем е при е->0, то площадь, покрытая
кружками радиусом ?, будет не порядка е, а порядка а(е-1). Если же
а(е_1)<ге,
4. АДИАБАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
167
то полоса кружков отслеживает все изгибы кривой и эта кривая является
гладкой.
Для фрактальной кривой S(t.) - а (1/е) ~е". Если 0<а<1,. то S(e) убывает
медленнее, чем для гладкой линии, и быстрее, чем для плоскости. Поэтому
фрактальная кривая занимает промежуточное положение между гладкими
кривыми и поверхностями, в связи с чем фрактальные кривые иногда называют
толстыми линиями. Хаусдорф предложил определение, согласно которому
размерность такого образования равна
dimextY=2-а;
индекс ext (external - внешняя) указывает, что при построении этой
величины пришлось выйти за пределы самой кривой.
Для физических приложений фрактальную кривую иногда-берут с обрезанным с
двух сторон спектром. Со стороны больших длин волн или низких частот -
временем наблюдения или масштабами наблюдаемой области, а со стороны
высоких частот - разрешающей способностью прибора.
Спектр (10.7) неплохо описывает наблюдаемую астрономами картину как в
области малых, так и больших размеров. Заметим, что приближенно к такому
спектру адиабатических флуктуаций приводит инфляционная модель в
простейшем варианте (см. гл. 11). Однако более детальное описание
структуры Вселенной, по-видимому, требует привлечения размерных
параметров уже в исходном спектре флуктуаций. Заметим, впрочем, что даже
безразмерный первичный спектр v=3/2 в ходе физических процессов при
расширении и охлаждении Вселенной становится сложнее. В нем возникают
характерные размеры, отвечающие затуханию волн определенной длины, длина
свободного пробега частиц и т. п. (см. ниже).
Однако, возможно, привлечение только что упомянутых характерных масштабов
окажется недостаточным, и необходимы какие-то дополнительные параметры.
Физика микромира в принципе дает нам большое количество подобных
параметров, к несчастью даже слишком большое, и проблема состоит не в
том, чтобы найти какой-то физический механизм, приводящий к возникновению
новых масштабов, а в том, чтобы сделать правильный выбор среди множества
возможностей. Дело в том, что мы не знаем ни физической природы скрытой
массы, ни деталей взаимодействия элементарных частиц при высоких
энергиях, и не исключено, что теория образования структуры Вселенной
явится для нас существенным источником информации обо всем этом.
§ 4. СТРУКТУРА ВСЕЛЕННОЙ В АДИАБАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
При температуре плазмы выше температуры рекомбинация водорода Г=3000 К
вещество и излучение взаимодействуют
168
10. СТРУКТУРА ВСЕЛЕННОЙ
сильно и поэтому жестко связаны. Когда длина волны флуктуации больше
горизонта X>t, флуктуации метрики слабо зависят от времени: /1"const, а
флуктуации плотности растут как масштабный фактор: бр/р~ (z+l)-1 на
нерелятивистской стадии и как квадрат масштабного фактора на
релятивистской. Этот рост можно понимать как более медленное расширение
областей с. избытком плотности (и со-a(tj ответственно более быстрое -
с недостатком) на фоне общего однородного расширения *. Это = /
иллюстрирует рис. 47. Когда раз-мер флуктуаций становится мень-ше
горизонта, они начинают ос-
------- циллировать, образуя звуковые
\ волны (длина волны Джинса
мг \ц>/ для радиационно доминирован-
f \ ной плазмы порядка горизонта).
--------------^------ Из-за диффузии фотонов корот-
1 коволновые флуктуации затухают
" , (затухание Силка). Мы можем
