Космология ранней Вселенной - Долгов А.Д.
ISBN 5-211-00108-7
Скачать (прямая ссылка):
сильном гравитационном поле элемент объема изменяется. Объем сферического
слоя толщиной dr в плоском пространстве записывается как произведение
площади поверхности этого слоя 4яг2 на его толщину, т. е. dV-4nr2dr. В
сильном гравитационном поле площадь поверхности остается прежней 4яг2, но
толщина сферического слоя определяется уже по-другому:
dl - dr/Y 1-rglr,
и элемент объема будет иметь вид, отличный от dV в плоском пространстве
/1 - rg/r '
Теперь, если выражение для массы нейтронной звезды записать через
физические характеристики: плотность и элемент объема, то
М = § ?{r)V^ - rg!r dV\
здесь ге - гравитационный радиус нейтронной звезды. Множитель Y1-rg!r и
определяет гравитационный дефект масс. Таким образом, масса нейтронной
звезды меньше суммы масс составляющих ее частиц.
Для нас во всех этих примерах главным является то, что масса тела не
равна сумме масс составляющих его частей, а меньше на некоторую величину.
Рассмотрим теперь шар с постоянной плотностью р. Его массу можно записать
в виде
М = рЕ - J рфdV.
Второй член в этом выражении - уже знакомый нам гравитационный дефект
масс. Записывая массу как функцию радиуса тела, придем к формуле
М = рг3 - я2бр2г5.
3 15
Первый член в выражении для общей массы представляет собой сумму масс
частиц, составляющих это тело. Сумма растет пропорционально плотности
тела и пропорционально кубу его размеров. Второй член - это
гравитационный дефект массы
2. СВОЙСТВА ПОЛУЗАМКНУТОГО МИРА
143
тела. При увеличении плотности тела он растет как квадрат плотности; при
увеличении размеров тела - пропорционально пятой степени его радиуса.
Важно то, что при постоянной плотности можно получить общую массу, равную
нулю. Действительно, будем добавлять все больше и больше вещества к этому
телу, сохраняя его плотность постоянной. Гравитационный дефект масс будет
расти быстрее, чем сумма масс, составляющих тело, и в конце концов общую
массу М можно обратить в нуль. Это происходит при достижении телом
размеров
Поскольку расчет велся в рамках ньютоновской теории гравитации и не было
учтено изменение метрики при приближении массы к нулю, то конкретный
коэффициент в выражении, связывающий г и р, неверен, но по порядку
величины выражение справедливо. Точно так же справедлив и основной вывод:
добавляя вещество можно обратить общую массу в ноль.
В другом случае можно взять некоторое определенное количество вещества и
его сжимать ¦- увеличивать плотность (увеличивать плотность надо так,
чтобы произведение рг2 росло). Тогда мы сможем сжать его до такой
степени, что М будет как угодно близка к нулю.
Разумеется, при этом нет никакого противоречия с законом сохранения
энергии. Уменьшение массы тела сопровождается соответствующим дефекту
массы излучением.
§ 2. СВОЙСТВА ПОЛУЗАМКНУТОГО МИРА
Рассмотренные примеры приводят к мысли о естественности того, что у
замкнутого мира полная масса или эквивалентно энергия равна нулю.
Интересно представить себе, как при добавлении массы может образоваться
замкнутый мир. Поэтому будем рассматривать, как изменяется масса,
измеряемая внешним наблюдателем, при добавлении к сферически-симмет-
ричному телу вещества при учете эффектов ОТО.
Прежде всего напомним некоторые свойства замкнутого мира и сферически-
симметричного тела. Замкнутый мир Фридмана описывается метрикой
/
4nGp
5
ds2 = a2 (г|) (dr|2-d%2-sin2 ydQP), dQ2 = sin2 Qdcp2 + d02;
(9.1)
гиперсферический угол % описывает расстояние от центра системы координат
до некоторой точки. Он изменяется от нуля
144
9. КВАНТОВОЕ РОЖДЕНИЕ ВСЕЛЕННОЙ
до я. Эта метрика описывает однородный и изотропный мир. За начало
отсчета может быть принята любая точка.
Геометрия, отвечающая метрике (9.1), является геометрией на поверхности
трехмерной сферы в некотором воображаемом 4-мерном пространстве. Введем
фиктивную координату Т, как при описании топологических свойств мира де
Ситтера. Поверхность сферы задается уравнением
Т2 + х2 + у2 +z2~ а2. (9.2)
Метрика в 4-мерном пространстве Т, х, у, z имеет обычный евклидов вид
dl2 = d'V2 + dx2 + dy2 + dz2.
На поверхности сферы (9.2)
dl2 = a2 (dx2 + sin2 %dQ2).
Если угол % меняется от нуля до %о<я, т0 метрика (9.1) описывает часть
сферы или часть мира Фридмана. При этом если я/2<%о<я, то такой случай
обычно называют полузамкнутым миром Фридмана и соответствующая метрика
описывает более половины замкнутого мира. Часть мира Фридмана уже,
разумеется, неизотропна, а только сферически-симметрич-на с центром в
точке % = 0.
Метрика вблизи сферически-симметричного тела имеет вид
ds2 = ( 1 - IL j dl2 - (1 - SL)~' dr2-r2dQ2\ (9.3) здесь rg -
гравитационный радиус тела,
'о
rg = 2Gm - 2G ^ р (г) ¦ 4nr2dr. (9.4)
о
В формуле, выражающей связь гравитационного радиуса и массы тела, масса
записана & виде объемного интеграла от плотности тела для того, чтобы
естественным образом продолжить метрику внутрь тела. Для однородной
плотности метрику внутри системы можно выразить как
