Космология ранней Вселенной - Долгов А.Д.
ISBN 5-211-00108-7
Скачать (прямая ссылка):
Проиллюстрируем еще раз лоренц-инвариантность соотношения р =-г (ср. § 1
гл. 5). Прежде всего отметим тот факт, что равенство нулю всех
производных поля ф - это инвариантное равенство при координатных, в
частности лоренцевых, преобразованиях. Действительно, поскольку ф -
скалярное поле, то при лоренц-преобразованиях ф не изменяется. Градиент
скалярного поля ¦- четырехмерный вектор. При четырехмерных
преобразованиях компоненты вектора преобразуются и величина каждой
компоненты меняется, за исключением одного случая, когда все компоненты
равны нулю. Это единственный случай лоренц-инвариантного вектора. Из
инвариантности <р и его производных (равных нулю) относительно лоренц-
преоб-разований немедленно следует, что соотношение р = -е является
лоренц-инвариантным.
Рассмотрим теперь физический смысл выбранных начальных условий ф = 0 и
фт^О. Уравнение движения для однородного поля ф является дифференциальным
уравнением второго порядка:
оно допускает произвольное задание двух начальных условий,
которые в нашем случае имеют вид ф = 0 и ф - ф^О.
Уравнение (6.10) эквивалентно уравнениям движения материальной точки в
классической механике. При этом роль координаты точки играет величина
скалярного поля ф(0. а U(ф) -'
Т00 = е-1/2 (ф2 + ш2ф2).
Tij - p6ij= 1/26,у (ф2-т2ф2).
(6.8)
(6.9)
d2 ф
9U (Ф) .
(6.10)
I. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ В ПЛОСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ
103
силовой потенциал, в котором движется точка. Потенциал вида U= 1/2т2ср2
описывает гармонический осциллятор с частотой
т. Выбор условий <р = 0 и <p = <pi в начальный момент времени
соответствует в осцилляторе тому, что мы "оттянули" грузик на пружинке из
положения равновесия на расстояние qn и зафиксировали его. Вернемся опять
к графику, изображающему потенциал в зависимости от ф (рис. 24).
Состояние осциллятора обозначено точкой А. Легко видеть, что состояние
неустойчиво. Как только внешние силы перестают удерживать осциллятор в А,
так сразу же точка А "покатится" вниз по пара-
Рис. 24. Потенциал U(ц>) свободного Рис. 25. Потенциал (J(q>) в модели
скалярного поля Хиггса
боле к положению равновесия. Движение точки, или зависимость ф(0 от
времени, будет описываться обычным гармоническим законом вида
ф(0 =фо cos mt.
Отметим, что выбор начальных условий фиксирует фазу колебаний. Набор двух
условий ф = 0 и ф = фо будет повторяться через период, а через полпериода
ф(/) будет удовлетворять условию ф = 0, т. е. тоже соотношению р=-е.
Потенциал U(cp) более сложной формы, отвечающий хиг-гсовскому случаю
(рис. 25), имеет два устойчивых минимума U\ и U2 и один неустойчивый ?/р.
Подобно предыдущему случаю мы можем выбрать неустойчивое начальное
состояние в одной из точек Ль Л2, Аз, Л4. Тогда ситуация будет аналогична
разобранной выше. Выберем теперь в качестве начального условия ф = 0, т.
е. состояние неустойчивого равновесия. В таком состоянии поле не может
оставаться неограниченно долго, так как квантовые флуктуации выведут его
из положения равновесия. Кроме того, состояние ф = 0 на рис. 25
соответствует согласно (6.4) ненулевому значению потенциала
104
6. СКАЛЯРНЫЕ поля в космологии
^(°)=Тф0' (6Л1)
а <р = 0. Это значит, что состоянию поля в положении Un отвечает
соотношение
р = -е.
Отметим еще одно любопытное свойство скалярного поля. В момент, когда ф =
0, <р = 0, что соответствует быстрому прохождению поля через точку <р=0
на рис. 24, реализуется предельно жесткое уравнение состояния
р= + е. (6.12)
Для среды с таким уравнением состояния скорость звука принимает
максимально возможное значение, равное скорости света. Это уравнение было
предложено около 20 лет тому назад в теории векторных полей, однако, как
мы только что видели, может быть реализовано для скалярного поля.
Заметим, что термин "уравнение состояния" мы здесь употребляем в
несколько условном смысле, так как система не ре-лаксировала и задание е
не определяет р. В рассматриваемом случае соотношение между р и е
изменяется со временем, причем у нас нет динамического уравнения, которое
позволяло бы по заданным р и е в начальный момент
определить всю их
дальнейшую эволюцию. Необходимо еще знание уравнения
движения поля <р. В свободном случае скалярное поле массы т
удовлетворяет, как мы знаем, уравнению Клейна-Гордона:
(?+т2)ф= (dt2-А+т2)(р=0. (6.13)
Это уравнение обладает решениями в виде плоских волн:
<р=<р0ехр(-iW-f/kr), (6.14)
где
M2 = k2-fm2, (6.15)
В пространственно однородном случае (т. е. для нулевого импульса k)
решение принимает вид
ф(?) = <р0е±,'(тАН"> или <р(f) = ф0cos(т/ + Ф). (6.16)
Мы видим, что для массивных частиц даже в состоянии покоя частота
осцилляций волновой функции отлична от нуля. Это связано с тем, что
энергия покоящейся частицы равна не нулю, а ее массе т (или те2, если не
полагать с=1). Вычислим плотность энергии и давление, отвечающие решению
(6.16):
в = 1/2фг + V2mV = [cos2 (mt + ф) + sin2 (mt + Ф)] =
I. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ В ПЛОСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ
105
