Космология ранней Вселенной - Долгов А.Д.
ISBN 5-211-00108-7
Скачать (прямая ссылка):
элементарным частицам? Ответ состоит в том, что в квантовой теории
энергия наинизшего состояния - вакуума - отлична от нуля и составляет
величину ~т4, где т - какая-то характерная для физики частиц масса.
Численная величина т зависит от модели, но все же в любой модели т^\ ГэВ.
Можно, конечно, думать, что происходит случайная компенсация различных
вкладов в рвак, но когда речь идет о компенсации с точностью по крайней
мере 50 порядков, на случайность надеяться трудно.
Появление Л-члена напоминает появление массы и первоначально безмассовых
частиц из-за квантовых поправок - перенормировок. Калибровочная
инвариантность, как отмечалось выше, требует исчезновения массы фотона не
только на классическом уровне, но и на квантовом уровне, по крайней мере
при достаточно малой константе связи. Однако для космологической
постоянной аналогичного принципа пока не найдено. Опыт работы с квантовой
теорией поля учит, что в ней "все, что не запрещено, разрешено".
Космологическая постоянная выглядит на нашем сегодняшнем уровне понимания
как исключение из этого правила.
Чтобы пояснить, как квантовая теория приводит к ненулевой энергии
вакуума, вспомним, что наинизшая энергия квантово-механического
осциллятора не равна нулю, а равна со/2, что непосредственно связано с
принципом неопределенности Гайзенберга. В этом состоит важное отличие
квантовой механики от классической. Согласно последней минимальная
энергия частицы в осцилляторном потенциале ?/ = тсо2х2/2 равна нулю.
Если перейти от квантовой механики одной частицы к твердому телу, т. е. к
квантовой механике большого числа частиц, то в пределе малых колебаний
энергии этих частиц (электронов) можно представить в виде
и = ¦т S m3ix2i +TkH {Xi~-Xi+])2> (5-19)!
где первый член отвечает взаимодействию электрона с ионом,
кристаллической решетки, а второй - взаимодействию сосед-
•96
5. КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ ПОСТОЯННАЯ
них электронов между собой. Для решения такой задачи известным удобным
приемом является диагонализация матрицы взаимодействия, т. е. переход к
нормальным (невзаимодействующим) модам колебаний, который осуществляется
преобразованием Фурье. Основное состояние твердого тела, очевидно, имеет
энергию, равную полусумме, частот нормальных мод. Таким образом, даже при
нулевой температуре энергия осцилляторов, составляющих твердое тело,
отлична от нуля. Об этой энергии говорят, как об энергии нулевых
колебаний. Заметим, что энергия нулевых колебаний прекрасно проявляется в
эксперименте. В частности, для изотопов Li6 и Li7 энергия взаимодействия
атомов одинакова, а энергия нулевых колебаний различна, что приводит к
разной температуре испарения. Этот эффект может использоваться для
разделения изотопов.
Квантовая теория поля строится аналогично теории твердого тела. В
классической теории состояние поля в каждой точке пространства
определяется функцией ф(х, t) для скалярного поля, или четырьмя функциями
Л" для векторного и т. п. Переход к квантовой теории осуществляется, как
и в случае квантовой механики одной частицы, заменой числовых функций на
операторные. В этом смысле квантовая теория поля - это квантовая механика
системы с бесконечным числом степеней свободы. Гамильтониан свободного
скалярного поля, как мы знаем, можно записать в виде
что весьма близко по форме к выражению (5.19) для энергии электронов в
твердом теле. Можно, как и выше, перейти к нормальным координатам, сделав
преобразование Фурье:
тде сofc = yrfe2+m2, а величины a+(k) и a(k) представляют
собой операторы рождения и уничтожения частиц с импульсом k. В терминах
этих величин - нормальных координат - гамильтониан будет диагональным:
Он описывает совокупность невзаимодействующих осцилляторов с частотами
со*. Низшее по энергии состояние - вакуум такой системы - имеет ненулевую
(бесконечную) плотность энергии
Н = 1/2 § d3x[n2(x, f)+(V4>(*> t))2 + m\2(x, t)], (5.20)
- ikx+iitiyt-, В J,
H = 1/2 ^ d3ka>k [a+ (k) a(k) + a (k) a+ (k)\.
4. ПРОБЛЕМА Д-ЧЛЕНА В ПОЗДНЕЙ ВСЕЛЕННОЙ
97
Ее можно представить как энергию рождающихся и исчезающих в вакууме
частиц, что можно изобразить диаграммой {рис. 21).
Немного более наглядным ответ будет выглядеть, если перейти от
интегрирования к суммированию по k, сделав обычную замену
= 6"(k-k')--ak = VWka{k).
Тогда операторы аи и аи+ коммутируют согласно
[ак, а+] = 8ии'.
Учитывая это, можно переписать гамильтониан (5.20) в виде Нь = \^щ (afak
+ 4r). (5.21)
Вспоминая, что вакуум определяется как состояние без частиц, т. е.
условием а^|вак> = 0, получим, что вакуумная энергия равна (вак|#*|вак> =
сщ/2. Обычно об этой бесконечной энергии попросту забывали, объявляя ее
ненаблюдаемой и отсчитывая энергию частиц от этого бесконечно высокого
уровня. Такую точку зрения можно последовательно провести, если не
учитывать гравитационного взаимодействия. Гравитация чувствительна
Рис. 21. Виртуальные частицы, рождающиеся и исчезающие в вакууме. Их
существование приводит к изменению энергии вакуума
