Космология ранней Вселенной - Долгов А.Д.
ISBN 5-211-00108-7
Скачать (прямая ссылка):
ds2 = dt2-dx2-dr2;
здесь t играет роль "трехмерного" времени, Т - дополнительная абстрактная
координата. Уравнение, описывающее гиперболоид, вложенный в трехмерное
пространство, возьмем аналогично (5.12):
t2-x2-r2 = -rQ2. (5.13)
Так же, как и в пятимерном пространстве, введем координату т - аналог
сферических координат и параметр т вдоль гиперболоида:
? = r0sh(T/T0), x = r0ch(r/T0)sinr,
'V = r0 ch (т/т0) cos r.
Естественно, что введенные таким образом три функции t, х, Т
автоматически удовлетворяют уравнению (5.12) и дают двумерный интервал
вдоль поверхности гиперболоида в виде ds2 = dx2-r02 ch2 (т/то) dr2.
Интервал напоминает метрику замкнутого мира. Действительно, хотя
координата г изменяется от -оо до +оо, она является циклической и
фактически меняется на интервале (0,2 л).
Сечениям гиперболоида ?=const отвечают пространственные сечения, а линии,
образованные сечениями гиперболоида плоскостью ?=const, являются
одномерным пространством в выбранном нами мире. Эти сечения являются
кругами с длиной / = 2лг0сЬ (т/то), другими словами, одномерной моделью
замкнутого мира. Круг с минимальной длиной, или, что эквивалентно,
минимальный объем трехмерного пространства, достигается при т = 0 или на
сечении ? = 0. Следует особо отметить, что определение момента, когда
объем минимальный, неинвариантно. Действительно, при переходе к другой
системе координат, движущейся относительно исходной со скоростью р,
V - Рх' х' - р/'
86
5. КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ ПОСТОЯННАЯ
Уравнение, описывающее гиперболоид, сохраняет свой вид к в новых
координатах
2-Т'2=- интервал тоже сохраняет свою форму:
ds2 = dx'2-r20 ch2 (т'/т0) dr'2.
В новой системе координат круг с минимальной длиной 1 = -2лг0 тоже
определяется уравнением т'=0, но со старым кругом этот уже не совпадает.
По отношению к прежней секущей плоскости с уравнением ?=const новая
плоскость в координатах (t, х) будет иметь вид / + рх=const. Плоскость,
выделяющая круг минимального радиуса, будет иметь уравнение
t+px=О,
а следовательно, будет наклонена к плоскости ?=const на угол р, как
показано на рис. 18. Заметим, что в центральной точке
можно провести бесконечно много окружностей с экстремальной длиной. Это
связано со знаковой неопределенностью метрики. Аналогичное явление имеет
место и в пространстве Минковского. Заметим еще, что линия х=const
отвечает максимуму At. В связи с этим вспомним пара-^ доке близнецов:
"кто в движении, тот моложе".
На этой наглядной модели ¦J- мира де Ситтера можно показать, как из
единого гиперболои-
Рнс. 18. Сечения двумерного пространства де Ситтера, отвечающие
пространственно замкнутому миру. Все окружности с центром в точке 0,
касающиеся поверхности гиперболоида, имеют одинаковую длину
на получаются различные миры: замкнутый, плоский и открытый.
Мы выделили замкнутый мир де Ситтера, но можем также получить метрику
открытого мира. Правда, теперь придется ввести другое определение времени
и другую параметризацию поверхности гиперболоида. Рассмотрим сечение
гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси ОТ, задаваемой уравнением
2. РЕШЕНИЕ ДЕ СИТТЕРА
87
Т-const. Сечения представляют собой гиперболы, описываемые уравнениями
t2-х2=Т2-г02. Выберем параметризацию ловерхности гиперболоида в виде
t = r0sh - chX, x = r0sh - sh%, T = r0ch -.
to to To
Метрическая форма теперь примет вид
ds2 = dx2-г2 sh2 - dl2,
To
что соответствует метрике открытого мира.
Пространство в этом мире представляет собой гиперболу, образованную
пересечением гиперболоида с плоскостью, перпендикулярной оси ОТ. Длина
гиперболы неограниченна, что соответствует открытому миру. Время теперь
отсчитывается
Рис. 19. Сечения двумерного про- Рис. 20. Сечения двумерного
странства де Ситтера, отвечаю- пространства де Ситтера, отвечайте
пространственно открытому, ющие пространственно плоскому
но искривленному миру миру
вдоль оси ОТ, как изображено на рис. 19. Вдоль гиперболы, разумеется,
r=const, поэтому разные гиперболы представляют
88
5. космологическая постоянная
собой пространственноподобные гиперповерхности, относящиеся к разным
моментам времени. Еще раз подчеркнем здесь условность выбора оси времени.
Наконец, не выписывая явных формул параметризации, нарисуем наглядный
образ мира с плоскими пространственными сечениями. Как известно,
гиперболоид можно реализовать прямолинейными образующими, подобно тому
как это изображено* на рис. 20. Такая прямая отвечает плоским
пространственным сечениям в мире де Ситтера. Перпендикулярно к этим
прямым отсчитывается время, выделяя тем самым метрику де Ситтера с
плоскими пространственными сечениями.
Таким образом, разбивая различными способами четырехмерный мир де Ситтера
на пространство и время, мы получаем различные миры де Ситтера: открытый,
плоский или замкнутый. Следует отметить, что замкнутый мир покрывает весь
гиперболоид, а открытый и плоский - не весь. В этом смысле говорят о
геодезической неполноте последних. .?
К возможности преобразовать мир с плоскими пространственными сечениями к
