Космология ранней Вселенной - Долгов А.Д.
ISBN 5-211-00108-7
Скачать (прямая ссылка):
трехмерное сечение с y = const становится открытым.
Рассмотрим решения уравнений тяготения с Л-членом. Вспомним вначале более
простой случай р = 0. Уравнения, определяющие эволюцию масштабного
фактора, можно записать в виде
При р = 0 в обоих уравнениях стоит одна и та же масса Мх = = М2 = рУ.
Первое уравнение представляет собой ньютоновское уравнение движения, а
второе - закон сохранения энергии. Первое уравнение можно получить путем
дифференцирования второго, полагая М = const.
Если рФ0, положение меняется. Теперь уже АК = У(р+Зр) а М2= Ур. При этом
с уравнениями согласован известный за кон изменения полной энергии М2 =-
pdV.
В частном случае р = -р уравнение движения имеет вид
а =
GM,
а
GM2 k_
а 2
(5.6
Оно, очевидно, имеет решения вида
Кон
2. РЕШЕНИЕ ДЕ СИТТЕРА
83
кретная форма решения зависит от величины к, определяющей соотношение
между кинетической и потенциальной энергией.
При положительном Л и ^ = 0 уравнение имеет простое экспоненциальное
решение
а (0 = а0 ехр {^Л/З t\. (5.7)
Параметр Хэббла во Вселенной с такой метрикой является постоянным (здесь
действительно можно говорить о постоянной Хэббла, в отличие от
фридмановского расширения, когда Н зависит от t):
Н= - =КЛ/3. (5.8)
а
Красное смешение в мире де Ситтера с k = 0 ведет себя как
Z = ехр {У A/3(t0-О) - 1-
При k-±l масштабный фактор будет вести себя уже как гиперболический
косинус или синус. Конкретно, при &= + 1, что в метрике Фридмана
соответствует замкнутому миру, имеющему топологические свойства сферы,
масштабный фактор имеет вид
а (0 = a0ch (V^A/3 t). (5.9)
В этом выражении а0 - непроизвольная постоянная. Она связана с Л
выражением
а0 = УЛ/3.
Решением уравнений (5.6) при k =-1 является функция
-^5Ь(КЛТ3 0. (5.10)
Параметр Хэббла в метрике де Ситтера с кф0 не является постоянной
величиной, а выражается через гиперболический тангенс или котангенс
н=УШ th (КлТз if) при k = + 1,
(5.11)
H = VА/3 cth(]/A/3 t) при k = - 1.
Заметим, что при УЛ/ЗС^>1 различие между этими тремя типами решений
экспоненциально быстро стирается.
Пространство де Ситтера обладает весьма интересным свойством: оно имеет
очень высокую степень симметрии, такую же, как плоское пространство, и
благодаря этому выбор направле-
5. КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ ПОСТОЯННАЯ
ния оси времени в нем в значительной мере произволен. В мире Фридмана
такого произвола нет. Мы можем разделить четырехмерное пространство-время
на трехмерное пространство и ось времени. Для выделения трехмерной
гиперповерхности у нас есть физический критерий. На всей гиперповерхности
i== const и, следовательно, р = const. Во Вселенной, описываемой метрикой
Фридмана, плотность со временем изменяется и поверхности равной плотности
определяют направление оси времени - ось перпендикулярна
гиперповерхности, на которой ,р = const. Для мира де Ситтера, в котором
р=const, критерия для выбора оси t нет. По-разному направляя ось времени
в одном и том же 4-мерном пространстве, мы можем получить все три
решения, отвечающие &= + 1, 0 и -1. Заметим, что из них только замкнутое
решение (й= + 1) покрывает все указанное 4-мерное пространство, а плоское
и открытое решения являются некоторыми частями его. Ниже мы
проиллюстрируем это в простом случае двумерного пространства, которое
можно представить себе как поверхность в псевдоэвкли-довом трехмерном
пространстве.
Для нахождения группы инвариантности и описания топологии мира де Ситтера
воспользуемся следующим приемом. Представим себе решение де Ситтера как
поверхность гиперболоида вращения, вложенного в абстрактное пятимерное
пространство с интервалом вида
ds2 = dt-dx2-dy2-dz2-dy2\
здесь t, x, y, z - обычные четырехмерные координаты, У - пятая,
абстрактная координата, которая и позволяет рассматривать четырехмерное
пространство как вложенное в пятимерное.
Уравнение гиперболоида в 5-мерном пространстве имеет вид
t2-x2-y2-z2-r2 = -г02. (5.12)
Введя сферические координаты в этом пространстве, параметризуем
поверхность гиперболоида новой переменной т, которая будет в дальнейшем
играть роль времени в четырехмерном мире, являющемся поверхностью
гиперболоида вращения в пятимерном пространстве:
t=r0sh Ят, x = r0ch#Tsinrsint}coscp, у = r0 ch Hr sin г sin sin cp, z =
ra ch Ят sin r cos ft,
CV> = r0ch Ят cosr.
таджх \t, x, у, z, T') сптсътйакл
поверхность гиперболоида, другими словами, удовлетворяю! уравнению
(5.12). Интервал, выражаемый уже через 4 коорди наты (т, г, 0, ф),
описывается формой
2. РЕШЕНИЕ ДЕ СИТТЕРА
85
ds2 = dx2-Н~2ch2 Нх [dr2 + s'm2r (dQ2 + sin20d<p2) ],
если г02 = Я~2, т. е. является решением де Ситтера при k=-\-\. Отметим
сразу, что это самая полная координатная система, покрывающая весь мир де
Ситтера целиком.
Представить себе 4-мерный гиперболоид, вложенный в пятимерное
пространство, чрезвычайно трудно, поэтому для наглядности опишем это
вложение на примере вложения двухмерного гиперболоида в трехмерный
псевдоэвклидов мир.
Интервал в трехмерном псевдоэвклидовом мире возьмем .в виде
