Космология ранней Вселенной - Долгов А.Д.
ISBN 5-211-00108-7
Скачать (прямая ссылка):
В квантовой теории поля вероятность процессов, например, с участием
векторого поля V,, может оказаться отрицательной, если не устранить
состояние с нулевым спином. Так, например, в теории векторного поля
требуют d"V"=0; аналогичные условия можно выписать и для тензорного поля.
Однако в теории без-массовых полей, таких, как электромагнитное или
гравитационное, имеется дополнительная симметрия, которая сама "следит",
чтобы ненужные низшие спины не появлялись. В электродинамике такой
симметрией является калибровочная инвариантность, позволяющая добавлять к
электромагнитным потен-
1 ПОЛЯ В СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
35
щиалам градиент скалярной функции при одновременном фазовом
преобразовании полей заряженных частиц, а в гравитации - общая
ковариантность, т. е. возможность перехода к произвольно движущейся
системе координат.
Заметим, что одновременно с уничтожением низших спинов эти симметрии
уничтожают и низшие проекции высшего спина. Удобно выбрать направление
движения частицы в качестве оси z, на которую проектируем спин. При таком
выборе оси проекция Sz во время движения не меняется. Массивное векторное
поле имеет три степени свободы 5г=0, ±1; а безмассо-вое электромагнитное
лишь две: 5г=±1. Аналогично тензорное гравитационное поле тоже имеет лишь
два состояния Sz=±2, а низшие проекции Sz=±l, 0 отсутствуют. Так как
кванты этих полей движутся со скоростью света, утверждения об отсутствии
низших проекций инвариантны относительно преобразований Лоренца. Очевидно
также, что состояния с Дг+S и Sz-S не перепутываются при преобразованиях
Лоренца, не включающих пространственные отражения.
Общий вид уравнения, описывающего свободное поле, установить Еесьма
просто. Мы знаем из общих соображений, что поля должны удовлетворять
некоторому уравнению II порядка, а единственным инвариантным оператором
II порядка является оператор Даламбера:
Q2 Q2 рг дг
?
(3.2)
Отсюда безмассовое скалярное поле должно удовлетворять уравнению
? tp = /, (3.3)
где J - некоторый источник этого поля. Не нарушая общих требований
инвариантности, в это уравнение можно ввести дополнительный член
(?+m2)<jp=A (3.4)
Это уравнение описывает массивное поле, или массивные частицы - кванты
этого поля с массой т. Нетрудно убедиться, что уравнения (3.3) и (3.4)
имеют решение вида
ехр (-iEt+ik г),
только в первом случае E2=k2, а во втором E2=k2+m2, т. е. как раз
релятивистское соотношение между энергией, импульсом и массой частицы.
Обычно теорию поля формулируют на лагранжевом языке, т. е. строят
некоторую функцию поля и его первых производных -
лагранжиан (точнее, плотность лагранжиана), явля-
35
3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ. КРАТКОЕ ВВЕДЕНИЕ
ющуюся скаляром относительно преобразований Лоренца. Это< автоматически
обеспечивает лоренц-инвариантность теории. Далее с помощью 3 определяют
функционал действия
Уравнения движения определяются требованием экстремальности действия, т.
е. условием того, что функциональная производная S по полю обращается в
ноль:
Легко видеть, что лагранжиан скалярного поля имеет вид
Источник поля / можно ввести, добавив в лагранжиан член /<р; так как
лагранжева плотность 3 по определению является скалярной величиной, то
ток должен быть скаляром. Аналогично источник векторных полей,
добавляемый в лагранжиан в виде должен быть вектором, а тензорных
- тензором.
Для полей с высшими спинами в уравнениях движения могут возникать
некоторые дополнительные члены, хотя в конечном счете все фактически
сводится к уравнениям типа (3.3) или (3.4).
Пока мы говорили лишь о полях с целыми спинами S= =0, 1, 2. Это так
называемые бозонные поля. Теория допускает существование полей с
полуцелым спином S=l/2, 3/2. Такие поля носят название фермионных. Между
квантами бозонных и фермионных полей есть принципиальное отличие: две
частицы с полуцелым спином - фермионы не могут находиться в одном и том
же состоянии. Для бозонов же ситуация прямо противоположна: если в каком-
то состоянии уже находится много бозонов, вероятность рождения новых
бозонов в этом же состоянии существенно возрастает. На этом основан
принцип действия лазера. Упомянутое явление носит название бозе-кон-
денсации. Благодаря этому обстоятельству возможно существование
классических бозонных полей, которые с квантовой точки зрения как раз
представляют собой конденсат соответствующих частиц. Поэтому очевидно,
что классического аналога фермионных полей не существует.
Более аккуратная формулировка отличия фермионов от бозонов состоит в том,
что полная волновая функция системы должна быть антисимметричной функцией
при перестановке
[ dtd3xX = J d*xJ?.
6S д& d dS
6<p дц> dx^ dw
(3.5)
(3.6)
2. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
37
любой пары одинаковых фермионов (принцип Паули) и симметрична при
перестановке бозонов. Отсюда, в частности, следует невозможность
пребывания двух тождественных фермионов в одинаковом состоянии и тот
факт, что связанное состояние четного числа фермионов является бозоном.
